Двадцать третьего ноября у нас будет семейный праздник.

Because here the date means on the twenty-third of November, not it is the twenty-third of November.

Russian uses two very common patterns:

• Сегодня двадцать третье ноября. = Today is November 23rd.
  Here двадцать третье is in the nominative.

• Двадцать третьего ноября у нас будет семейный праздник. = On November 23rd, we will have a family celebration.
  Here двадцать третьего is in the genitive.

So the form changes depending on how the date is functioning in the sentence.

Yes. You can think of an understood word: числа.

So the structure is roughly:

• двадцать третьего (числа) ноября

That helps explain why третьего is in the genitive. In modern Russian, числа is usually left out, but the case pattern remains.

Because in compound ordinal numbers, usually only the last word declines.

So:

• двадцать третий
• двадцать третьего
• двадцать третьему

The двадцать part stays the same, while третий changes to match the needed case.

Ноября is genitive singular.

Months are normally put in the genitive when used in dates:

• первое января
• пятое мая
• двадцать третьего ноября

So in Russian dates, the month is very often in the genitive.

Literally, у нас means something like at our place, with us, or among us.

In this sentence, a natural English translation is usually:

• we will have
• we’re having
• there will be in our family / at our place

So у нас будет семейный праздник literally feels like at our place there will be a family celebration.

This is a very common Russian way to express something that English often says with have.

Russian often uses быть in this kind of sentence instead of translating English have directly.

So:

• У нас будет праздник
  literally = At our place there will be a celebration
• natural English = We will have a celebration

This is completely normal Russian. It is often better to learn у меня есть, у нас будет, у него был as common patterns rather than trying to force English have into every sentence.

Because семейный праздник is the thing that will be.

In у нас будет семейный праздник, the phrase семейный праздник stays in the nominative singular:

• праздник = masculine nominative singular
• семейный agrees with it in gender, number, and case

So the sentence structure is basically:

• At our place / for us
  • will be
    • a family celebration

No separate word is needed here.

In English, you say on November 23rd.
In Russian, a full date often appears without a preposition:

• Двадцать третьего ноября мы поедем...
• Пятого мая у них свадьба.

So the meaning of English on is built into this date expression.

Yes. Russian word order is flexible.

This version:

• Двадцать третьего ноября у нас будет семейный праздник.

naturally emphasizes the date first.

Other possible orders include:

• У нас будет семейный праздник двадцать третьего ноября.
• Семейный праздник у нас будет двадцать третьего ноября.

All are understandable, but the emphasis changes a little. Starting with the date is very natural when you want to set the time first.

Because month names in Russian are normally written with a lowercase letter, unless they begin the sentence.

So:

• 23 ноября
• в ноябре
• ноябрь был холодным

This is different from English, where November is capitalized.

A helpful stressed version is:

Два́дцать тре́тьего ноября́ у нас бу́дет семе́йный пра́здник.

A few notes:

• ноября́ has the stress on the last syllable.
• бу́дет has stress on the first syllable.
• семе́йный has stress on -ме́й-.
• пра́здник has stress on the first syllable.

If you read it smoothly, the date at the beginning usually sounds like one time phrase:
Два́дцать тре́тьего ноября́...