Learn Hardcore Russian: Мне нравится то, что этот урок короткий. - I like the fact that this lesson is short.

The experiencer (the person who likes) is in dative: мне = to me.
The thing liked is in nominative: то, что этот урок короткий is the subject.
The verb нравится is 3rd person singular because it agrees with the subject (here, то).

Я нравлюсь means I am liked (by someone), e.g. Я тебе нравлюсь? – Do you like me?

Люблю is я люблю – I love / I like (in general).
You’d use я люблю этот урок to say I like this lesson (in general), not I like the fact that it is short.

Why is мне in the dative case here?

Мне is the dative of я (I).

With нравится, Russian treats the person who likes something as the indirect object, not the subject:

Кому нравится? – To whom is it pleasing? → мне (to me)
Что нравится? – What is pleasing? → то, что этот урок короткий* (the fact that this lesson is short)

So the structure is:

(Кому?) Мне – to me → dative
(Что?) нравится – is pleasing
(Что именно?) то, что этот урок короткий – the thing that pleases you

This “dative experiencer” pattern is very common in Russian:

Мне холодно. – I am cold (literally: To me it is cold.)
Ему скучно. – He is bored (literally: To him it is boring.)

Why is the verb нравится in 3rd person singular?

Because in Russian, нравится agrees with the thing that is liked, not with the person who likes it.

The subject is effectively то (that / the fact), which is neuter singular, so the verb is 3rd person singular:

То нравится. – That is pleasing.
Full sentence: Мне нравится то, что этот урок короткий.

If the thing liked were plural, the verb would be plural:

Мне нравятся эти уроки. – I like these lessons.
(Subject: эти уроки – plural → нравятся)

What is the role of то, что? Could I just say Мне нравится, что этот урок короткий?

То, что literally means “that which / the fact that” and introduces a clause.

In your sentence:

то, что этот урок короткий ≈ “the fact that this lesson is short”

About dropping то:

Мне нравится то, что этот урок короткий.
Emphasizes the fact that this lesson is short. Slightly more formal/explicit.
Мне нравится, что этот урок короткий.
Also correct and very common. Often sounds a bit more neutral/natural in conversation.

Meaning-wise, in this sentence both are fine. То is often added when the speaker wants to highlight the whole fact as a specific thing:

Мне нравится то, что ты всегда помогаешь.
I like the fact that you always help. (emphasis on that quality as a “thing”)

Why is there a comma after то: то, что? Is it always written like that?

Yes, in this construction the comma is standard.

You have:

Main clause: Мне нравится то
Subordinate clause: что этот урок короткий

Written together, you mark off the subordinate clause with a comma:

Мне нравится то, что этот урок короткий.

This is the pattern: то, что + clause = the fact that + clause
The comma shows that что introduces a subordinate clause (not the relative pronoun “which” as in English).

Why is there no word for “is” (like есть) in этот урок короткий?

In Russian, the verb “to be” (быть) is usually omitted in the present tense when linking a noun and an adjective or another noun.

So:

Этот урок короткий. literally: This lesson short.
Natural English: This lesson is short.

You would only use a form of быть in the present for special emphasis or contrast (and it sounds marked/poetic or very emphatic):

Этот урок и есть короткий. – This lesson is exactly the short one.

For normal, neutral speech, no present “is”: just Этот урок короткий.

Why is короткий in this form? Could it be короток or коротким?

Короткий here is a full-form adjective, masculine singular, nominative, agreeing with урок (masculine singular nominative).

этот урок (какой?) короткий – this lesson (what kind of?) short

Other forms:

короток – short-form adjective (predicative), more bookish / stylistic:
Этот урок короток. – correct but sounds literary or old-fashioned in many contexts.
коротким – instrumental / dative / etc., not used here because you need nominative to agree with the subject урок.

In everyday modern speech, Этот урок короткий is the default, natural choice.

Could I change the word order, like Этот урок короткий, мне это нравится or Этот урок мне нравится? Do they mean the same?

All of these are possible, with slightly different focus:

Мне нравится то, что этот урок короткий.
Neutral: I like that this lesson is short. (focus on the fact that it’s short)
Мне нравится этот урок, он короткий.
I like this lesson; it’s short.
Two separate statements; the shortness is given as a reason, but grammatically separate.
Этот урок мне нравится.
I like this lesson.
Word order emphasizes этот урок (this one in particular).
Этот урок короткий, мне это нравится.
This lesson is short; I like it.
Two clauses; это refers back to the whole situation “this lesson is short”.

So yes, you can change the word order, but Мне нравится то, что этот урок короткий is the compact way to say specifically I like the fact that this lesson is short.

How would this sentence change for another person or in the plural?

The pattern stays the same: [dative pronoun] + нравится + то, что + [clause].

Examples:

Нам нравится то, что этот урок короткий.
We like that this lesson is short.
Им нравится то, что эти уроки короткие.
They like that these lessons are short.
– Note нравятся would be used if эти уроки were the direct subject, but here the grammatical “head” is still то, so нравится is fine; often people say:
Им нравится, что эти уроки короткие.

Dative pronouns you can plug in:

мне – to me
тебе – to you (sg, informal)
ему / ей – to him / to her
нам – to us
вам – to you (pl / formal)
им – to them

So you can build many similar sentences:

Тебе нравится то, что урок короткий? – Do you like that the lesson is short?