Learn Hardcore Russian: Количество гостей сегодня примерно десять.

Russian normally drops the present-tense “to be.” So Количество гостей сегодня примерно десять literally reads “The number of guests today — about ten.” You can optionally add:

a dash: Количество гостей сегодня — примерно десять.
a verb: Количество гостей сегодня составляет примерно десять. (more formal)

Should there be a dash before “примерно десять”?

A dash is recommended when both parts are nouns/numerals to clarify the subject–predicate split: Количество гостей сегодня — примерно десять. Without the dash it’s still understandable, but the dash is considered more standard in writing.

Why is гостей in the genitive plural?

Because количество (“quantity/number of”) governs the genitive: количество чего? гостей. You’ll see the same with other measured nouns: количество студентов, количество ошибок, etc.

Why not гостов for the genitive plural?

Гость is irregular. Its genitive plural is гостей, not “гостов.” Mini-paradigm:

sg: ном. гость, род. гостя
pl: ном. гости, род. гостей

Why is it примерно десять, not примерно десяти?

Примерно is an adverb; it does not assign a case. Here the numeral is a predicate in the nominative: примерно десять. You only use a different case if something else requires it (e.g., равно десяти uses dative because равно governs dative).

Can I use около instead of примерно? If so, what case follows?

Yes. Около is a preposition that requires the genitive: около десяти. So you can say:

Количество гостей сегодня — около десяти.
With the noun included: Сегодня около десяти гостей.

What’s the difference between примерно, приблизительно, где-то, and порядка?

They all express approximation, with slight register nuances:

примерно / приблизительно: neutral, interchangeable.
где-то: colloquial (“around”), e.g., Гостей где-то десять.
порядка
- genitive: somewhat formal/businesslike, e.g., порядка десяти. Avoid stacking approximators in careful style (e.g., примерно около десяти is redundant, though heard in speech).

Is the word order fixed? Where can I put сегодня?

Word order is flexible. All of these are natural:

Количество гостей сегодня — примерно десять.
Сегодня количество гостей — примерно десять. (fronts the time frame)
Гостей сегодня примерно десять. (more colloquial/existential)
Сегодня примерно десять гостей. (no “количество,” very natural)

Is the original sentence natural, or should I prefer another version?

It’s fine, especially with a dash: Количество гостей сегодня — примерно десять. In everyday speech, shorter versions are more common:

Сегодня гостей примерно десять.
Сегодня примерно десять гостей. Formal/reporting style often uses a verb: Количество гостей составляет примерно десять.

What’s the difference between количество, число, and численность?

количество: “quantity/number (of things/people),” very general.
число: near-synonym; slightly more technical/formal in some contexts.
численность: headcount/size of a group or population (statistics, demographics).
All work here, but количество and число are the most natural.

Can I use the collective numeral десятеро?

You can say десятеро гостей, especially in narrative style, but with количество it’s uncommon to make the predicate just десятеро. Prefer:

Гостей было десятеро. (good)
With our pattern: Количество гостей — десять. (more standard than — десятеро)

If I add a verb like составлять, what agreement should I use?

Agree with количество (neuter singular):

Correct: Количество гостей составляет примерно десять.
Incorrect: составляют (plural) here.

How would this work with other numbers, like 21?

With the “количество” construction, you typically don’t repeat the noun:

Количество гостей — двадцать один.
If you drop количество and name the guests explicitly, you follow numeral rules:
Сегодня примерно двадцать один гость.
Сегодня примерно двадцать два гостя.
Сегодня примерно двадцать пять гостей.

Pronunciation and stress tips?

колИчество [ka-LI-che-stva] — stress on ЛИ.
гостЕй [gas-TÉY] — stress on the last syllable.
сегОдня is pronounced with a “v” sound: [sʲɪ-VÓD-nʲa]; spelled with г, but said like в.
приМЕрно [pri-MYÉR-na].
ДЕсять [DYÉ-sʲitʲ].

Any punctuation issues with сегодня or the predicate?

No commas are needed. The only common punctuation mark here is the optional dash before the nominal predicate: Количество гостей сегодня — примерно десять.

Could I say it without количество at all?

Yes, and it’s very natural:

Сегодня примерно десять гостей.
Гостей сегодня примерно десять. These are often preferred in everyday speech.