Il quartiere è vicino al fiume.

You use un quartiere when introducing “a neighborhood” in a general or non‐specific sense. For example:
• Un quartiere importante è vicino al centro. (A neighborhood of importance is near the center.)
Once you’ve specified or know which one you mean, you switch to il quartiere.

Essere is the default “to be” verb for stating characteristics or location with an adjective. You could, however, use:
• Il quartiere si trova vicino al fiume. (The neighborhood is located near the river.)
• Il quartiere sta vicino al fiume. (less common, more colloquial)
But è vicino is the simplest, most idiomatic way.

Yes, when used as a true adjective in a predicative position, it agrees with the subject:
• Masculine singular: Il quartiere è vicino
• Feminine singular: La scuola è vicina
• Masculine plural: I quartieri sono vicini
• Feminine plural: Le scuole sono vicine

You can, but that construction is a noun phrase with a reduced relative clause:
• Il quartiere vicino al fiume (The neighborhood [that is] near the river)
It works as part of a larger sentence: Il quartiere vicino al fiume è molto tranquillo. But to form a complete sentence stating location, you need the verb: Il quartiere è vicino al fiume.

It’s pronounced /kwarˈtjɛ­re/:
• q = /k/ + /w/ sound (like “cu” in “question”)
• -ti- = /t͡j/ (similar to the “ti” in English “studio”)
• Stress on the second syllable: quar-TI-ere.