Η συμμετοχή στην εκδρομή είναι δωρεάν.

Η is the definite article in Greek, meaning “the” for feminine singular nouns in the nominative case.

• It agrees with συμμετοχή (which is feminine, singular, nominative).
• It’s capitalized simply because it’s the first word of the sentence, not for any grammatical reason.
• Don’t confuse Η (capital letter eta) with ή (eta with a tonos), which usually means “or”.

συμμετοχή means “participation”.

Grammatically:

• It is a feminine noun.
• In this sentence it is nominative singular.
• It is the subject of the sentence:
  Η συμμετοχή = The participation.

So the core structure is:
Η συμμετοχή … είναι δωρεάν.
= The participation … is free.

Greek uses the definite article more often than English.

• Η συμμετοχή literally is “the participation”, but in natural English we usually just say “participation”.
• In Greek, abstract nouns (like αγάπη, ζωή, συμμετοχή) frequently take the article, even when English doesn’t use “the”.
• So Η συμμετοχή στην εκδρομή είναι δωρεάν is the normal, idiomatic way to say Participation in the excursion is free, even though we drop “the” in English.

στην is a combination of a preposition and an article:

• σε (preposition) = in, at, to, on
• την (feminine, accusative singular article) = the

So:

• σε + την = στην

It is written as one word in modern Greek spelling.
Literal breakdown: στην εκδρομή = to/in/on the excursion/trip.

Formally, σε + την can become either στη or στην before a word that starts with a vowel like εκδρομή.

• In practice, speakers often keep the -ν (nu) before vowels, so στην εκδρομή is the most common and standard form.
• στη εκδρομή is possible in fast or casual speech, but στην εκδρομή is what you should learn and use, especially in writing.

εκδρομή (excursion, trip) is:

• a feminine noun,
• here in the accusative singular: την εκδρομή → στην εκδρομή.

Reason:

• The preposition σε in modern Greek always takes the accusative.
• So after σε / στη(ν), the noun must be in the accusative case:
  στην εκδρομή = on / in / for the excursion.

είναι is the third person singular of the verb είμαι (to be), meaning “is”.

• Here it links the subject (Η συμμετοχή στην εκδρομή) with the description (δωρεάν).
• Structure: [subject] + είναι + [complement]

You cannot normally omit είναι in standard Greek the way copulas are dropped in some other languages;
Η συμμετοχή στην εκδρομή δωρεάν is ungrammatical.
You must say είναι.

δωρεάν means “free (of charge)”.

Grammatically:

• It is an indeclinable word (it does not change form).
• It behaves like an adverb or an indeclinable adjective.

• You use δωρεάν the same way no matter what noun you describe:

  • Η είσοδος είναι δωρεάν. – The entrance is free.
  • Οι ξεναγήσεις είναι δωρεάν. – The tours are free.
  • Το πάρκινγκ είναι δωρεάν. – The parking is free.

No gender/number/case endings are added to δωρεάν.

Greek word order is flexible, but not every permutation sounds natural.

• Normal: Η συμμετοχή στην εκδρομή είναι δωρεάν.
• Also natural:
  
  • Η συμμετοχή στην εκδρομή είναι εντελώς δωρεάν.
  • Η συμμετοχή είναι δωρεάν στην εκδρομή. (slightly different emphasis)

But Η συμμετοχή στην εκδρομή δωρεάν είναι sounds awkward and unnatural in modern Greek.
The safest and most idiomatic word order here is the original one.

You just negate the verb είναι with δεν:

• Η συμμετοχή στην εκδρομή δεν είναι δωρεάν.
  = Participation in the excursion is not free.

Pattern:
[subject] + δεν είναι + [complement]

Yes, the focus is different:

• Η συμμετοχή στην εκδρομή είναι δωρεάν.
  Emphasis on the participation: you don’t pay to take part, but there might still be costs related to the excursion (e.g. food, extras).

• Η εκδρομή είναι δωρεάν.
  Emphasis on the whole excursion being free of charge (at least in everyday understanding).

So the original sentence makes it clear that what is free is joining the excursion.