Learn Hardcore German: Unter der Voraussetzung, dass die Hausverwaltung zustimmt, dürfen wir den Flur beim Umzug kurz nutzen. - On the condition that the property management agrees, we may use the hallway briefly during the move.

Unter der Voraussetzung, dass … is a formal way to introduce a condition (similar to on the condition that / provided that).
Grammatically, it’s a prepositional phrase (unter + noun phrase) followed by a dass-clause that specifies the condition.

More common/less formal alternatives include:

Vorausgesetzt, dass die Hausverwaltung zustimmt, …
Wenn die Hausverwaltung zustimmt, …
Falls die Hausverwaltung zustimmt, …

Why is it unter der Voraussetzung (dative) and not accusative?

The preposition unter can take either dative (location/static) or accusative (movement/direction), but in fixed abstract expressions like unter der Voraussetzung it takes dative.

unter + dative here is not physical location; it’s an idiomatic “under the condition/assumption.”
So: unter der Voraussetzung (feminine singular dative: der).

Why is there a comma after Voraussetzung?

Because a dass-clause is a subordinate clause and is normally separated by a comma from the main clause.
So you get: Unter der Voraussetzung, dass …, dürfen wir …

There’s also a comma after zustimmt because that ends the subordinate clause and the sentence returns to the main clause.

Why is the verb at the end in dass die Hausverwaltung zustimmt?

In German, a dass-clause is a subordinate clause, and subordinate clauses typically have verb-final word order.

So:

main clause order (verb second): Die Hausverwaltung stimmt zu.
subordinate clause order (verb last): …, dass die Hausverwaltung zustimmt.

Also note: zustimmt is from zustimmen (a separable verb zu + stimmen), but in subordinate clauses separable verbs appear as one unit at the end: zustimmt.

Why does the main clause start with dürfen wir instead of wir dürfen?

Because the sentence begins with a long introductory element (Unter der Voraussetzung, dass …). When something other than the subject comes first, German keeps the finite verb in position 2 and the subject follows.

So the main clause has: 1) position 1: Unter der Voraussetzung, dass …
2) position 2 (finite verb): dürfen
3) then subject: wir

That’s why you see dürfen wir.

What exactly does dürfen mean here—may, are allowed to, or can?

Here dürfen expresses permission/authorization: may / are allowed to.

Wir dürfen den Flur … nutzen = we are allowed to use the corridor/hallway. If you used können, it would focus more on ability/possibility (we can / are able to), not permission.

Why is it den Flur (accusative), not im Flur (dative)?

Because nutzen is a transitive verb that takes a direct object in the accusative.

den Flur nutzen = to use the hallway (accusative object)
im Flur would mean in the hallway (a location phrase), which could be added but doesn’t replace the object:
- Wir dürfen den Flur beim Umzug kurz nutzen.
- Wir dürfen im Flur kurz … (would need a different verb/structure, e.g. sein, stehen, lagern, etc.)

What does beim Umzug mean exactly, and what case is it?

beim = bei dem (contracted form).
So beim Umzug uses dative (because bei takes dative).

Meaning: during the move / while moving (house).
It sets the time/context in which using the hallway is allowed.

Where does kurz belong, and what is it modifying?

kurz is an adverb meaning briefly/for a short time. It modifies nutzen (the action of using).

In this sentence it’s placed naturally before the infinitive nutzen:

… den Flur beim Umzug kurz nutzen.

Other possible placements (with slightly different emphasis) include:

… den Flur kurz beim Umzug nutzen. (emphasis on briefness earlier)
… beim Umzug den Flur kurz nutzen. (topic shift: move first, then hallway)

What is Hausverwaltung and why is it the one that must agree?

die Hausverwaltung is the property management / building management (the company or office responsible for managing an apartment building).
So the sentence says permission depends on whether the management agrees: dass die Hausverwaltung zustimmt.

Could you replace zustimmt with another verb, and would the grammar change?

Yes. Common alternatives are:

… dass die Hausverwaltung einverstanden ist (that management agrees/is okay with it)
- Here the verb is ist and einverstanden is an adjective.
… dass die Hausverwaltung zustimmt (approve/consent)
- One-verb structure at the end of the subordinate clause.
… dass die Hausverwaltung es erlaubt (that management allows it)
- erlaubt is also verb-final in the dass-clause.

The comma and verb-final rule in the dass-clause stay the same.

Is Unter der Voraussetzung formal? What would sound more natural in everyday speech?

Yes, Unter der Voraussetzung, dass … is quite formal/administrative.

Everyday options:

Wenn die Hausverwaltung zustimmt, dürfen wir …
Falls die Hausverwaltung zustimmt, dürfen wir …
Sofern die Hausverwaltung zustimmt, dürfen wir … (still somewhat formal but common)

They all introduce the same type of condition, just with different levels of formality.