Learn Hardcore German: Ich hoffe, ich kann dich überzeugen.

Because the second part is a content clause. In German, you can either use a dass-clause or an unintroduced clause with main-clause word order. Both need a comma:

Ich hoffe, dass ich dich überzeugen kann.
Ich hoffe, ich kann dich überzeugen. The version without dass is a bit more conversational; the comma is still mandatory.

Why is the word order ich kann dich überzeugen and not ich dich überzeugen kann?

Without dass, the following clause keeps main-clause word order (verb in position 2): ich kann .... With dass, it’s a subordinate clause and the verb goes to the end: ..., dass ich dich überzeugen kann.

Why dich and not dir?

Überzeugen takes a direct object in the accusative. Dich is accusative singular (you). Dir is dative and would be wrong here.

Where do the verbs go with a modal like können?

In a main clause, the finite modal (kann) is in position 2; the lexical verb (überzeugen) is a bare infinitive at the end: ich kann dich überzeugen. In a dass-clause, both go to the end, with the lexical verb before the modal: ..., dass ich dich überzeugen kann.

Can I say Ich hoffe, dich überzeugen zu können?

Yes. That’s a natural alternative meaning I hope to convince you. In a zu-infinitive with a modal, zu attaches to the modal: dich überzeugen zu können (not: zu überzeugen können).

Why isn’t there a zu after kann?

German modal verbs (können, müssen, wollen, dürfen, sollen, mögen) take a bare infinitive, so no zu: ich kann dich überzeugen.

What’s the difference between überzeugen and überreden?

überzeugen = convince with reasons/evidence (change someone’s belief).
überreden = persuade/talk someone into doing something (emphasis on getting them to act, not necessarily believe). Examples:
Ich hoffe, ich kann dich von meinem Plan überzeugen.
Ich hoffe, ich kann dich überreden, mitzukommen.

How do I add what I’m convincing you of?

Common patterns:

jemanden von + Dativ überzeugen: dich von meinem Plan überzeugen
jemanden davon überzeugen, dass ...: dich davon überzeugen, dass es funktioniert
jemanden überzeugen, etwas zu tun (more formal/neutral) vs. often jemanden zu etwas überreden for getting someone to act.

How do I make it formal or plural?

Formal singular/plural: Ich hoffe, ich kann Sie überzeugen. (capitalize Sie)
Informal plural: Ich hoffe, ich kann euch überzeugen.

Is Ich hoffe, ich werde dich überzeugen correct?

Grammatically yes, but German usually uses the present for future meaning here. Ich hoffe, ich kann dich überzeugen or Ich hoffe, dich überzeugen zu können sound more natural. Use werde to stress futurity or certainty in special contexts.

Where does nicht go if I want to negate?

To negate the ability/act of convincing: Ich hoffe, ich kann dich nicht überzeugen (I hope I can’t convince you — odd but possible).
To negate the hoping: Ich hoffe nicht, dass ich dich überzeugen kann. Usually, if you want a positive hope, use the original sentence or the dass-version.

Can I drop the second ich?

Not in standard grammar: each finite clause needs its subject. Colloquially you might hear Hoffe, ich kann dich überzeugen, but Ich hoffe, kann dich überzeugen is wrong.

Is überzeugen separable? What’s the participle?

It’s inseparable. The past participle is überzeugt (no ge-): Ich habe dich überzeugt.

How could I say the same thing with hoffentlich?

Hoffentlich kann ich dich überzeugen. It front-loads the attitude of hope. It’s neutral to slightly informal and very common.

Why is dich before überzeugen and not after it?

Pronouns usually come earlier in the middle field. The natural order is ich kann dich überzeugen, not ich kann überzeugen dich. The lexical verb cluster stays at the end.

Pronunciation tips for überzeugen?

ü like a close front rounded vowel (shape lips for u, tongue for i).
eu sounds like English oy.
z is ts. Roughly: UE-ber-tsoi-gen (IPA: [ˈyːbɐt͡sɔʏɡn̩]).