Learn Hardcore German: Ich prüfe den Dienstplan und frage sicherheitshalber noch einmal nach. - I check the duty roster and ask again just to be safe.

Because it’s the direct object of prüfen, which takes the accusative case. Dienstplan is masculine (nominative: der Dienstplan), so accusative singular is den Dienstplan. Indefinite would be einen Dienstplan. Plural: die Dienstpläne (accusative plural is the same as nominative plural).

What exactly is a Dienstplan? How is it different from Zeitplan, Schichtplan, or Stundenplan?

Dienstplan: duty roster/rota for staff (who works when); common in retail, healthcare, hospitality.
Schichtplan: shift schedule; near-synonym of Dienstplan, especially where work is organized in shifts.
Zeitplan: a timeline/schedule for tasks or a project (not about staffing).
Stundenplan: class timetable (school/university).

What’s the difference between prüfen and überprüfen? Which fits better here?

prüfen: to examine/check/test in general.
überprüfen: to verify/check over; often implies a careful or secondary check. In this sentence, both are fine. With sicherheitshalber, überprüfen can subtly underline the idea of “double-checking”: Ich überprüfe den Dienstplan …. Ich prüfe den Dienstplan … is also perfectly natural.

Why does nach go to the end in frage … nach?

Because nachfragen is a separable verb. In main clauses, the separable prefix moves to the end:

Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach.
Perfekt: Ich habe sicherheitshalber noch einmal nachgefragt.
Subordinate clause: …, dass ich sicherheitshalber noch einmal nachfrage.

Can I say frage nach without mentioning who or what I’m asking?

Yes. Context can supply the missing details. If you want to be explicit:

About something (nach + Dativ): Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach dem Dienstplan.
At/with someone (bei + Dativ): Ich frage beim Chef sicherheitshalber noch einmal nach.
Ask someone directly (accusative): Ich frage den Chef sicherheitshalber noch einmal.

Should I use fragen or nachfragen here?

fragen is general (you can ask someone: jemanden fragen; or ask about something: nach etwas fragen).
nachfragen often means to follow up/clarify/ask again. With sicherheitshalber (just to be sure), nachfragen is a very natural choice: … und frage sicherheitshalber noch einmal nach.

Where do sicherheitshalber and noch einmal go in the sentence? Can I swap them?

Both are mid-field adverbials. A common and natural order is:

Ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. You can also say:
Ich frage noch einmal sicherheitshalber nach. (possible, a bit less typical) Fronting for emphasis is fine:
Sicherheitshalber frage ich noch einmal nach. Rule of thumb: sentence adverbs like sicherheitshalber tend to come earlier than event-internal adverbs like noch einmal.

What’s the nuance difference between noch einmal, nochmal, wieder, erneut, and nochmals?

noch einmal: neutral “one more time/again.”
nochmal: colloquial form of noch einmal.
wieder: again (not necessarily “one more time,” just repetition).
erneut: formal “again/anew,” often in writing.
nochmals: “again, once more” but commonly used in set phrases like Nochmals danke! In your sentence, noch einmal/nochmal is most idiomatic.

Do I need a comma before und here?

No. With the same subject and two coordinated predicates, no comma:

Ich prüfe den Dienstplan und frage … nach. If you repeat the subject, a comma is optional under current rules:
Ich prüfe den Dienstplan, und ich frage … nach.

Can I repeat ich in the second part?

Yes: Ich prüfe den Dienstplan und ich frage sicherheitshalber noch einmal nach. It’s correct and can add slight emphasis or clarity, but most native speakers would omit the second ich here.

Why present tense? Shouldn’t it be future (werde prüfen)?

German often uses the present for near-future plans or scheduled actions. Ich prüfe … und frage … nach is normal if you mean you’re about to do it or do it as part of a routine. Ich werde … prüfen is fine to emphasize intention or to make a promise, but it’s not required.

What part of speech is sicherheitshalber? Any synonyms?

It’s a sentence adverb meaning “as a precaution/just to be sure.” Natural synonyms:

zur Sicherheit
vorsichtshalber All three work: Ich frage zur Sicherheit/vorsichtshalber noch einmal nach.

Is sicherheitshalber one word? What about der Sicherheit halber?

Yes, sicherheitshalber is one word. There is also the slightly more formal set phrase der Sicherheit halber:

Ich frage der Sicherheit halber noch einmal nach. Meaning and usage are very close to sicherheitshalber.

How would this look inside a dass-clause?

The verb bracket closes at the end, and the separable verb stays together:

…, dass ich den Dienstplan prüfe und sicherheitshalber noch einmal nachfrage.

Can prüfen take a preposition like auf?

Yes, when you mean “to check/test for” something, use auf + Akkusativ:

Ich prüfe den Dienstplan auf Fehler. (I check the roster for errors.) Without a preposition, prüfen + Akkusativ just means “to check/examine” the thing itself:
Ich prüfe den Dienstplan.

Is Dienstplan always masculine? What are its forms?

Yes, it’s masculine.

Singular: der Dienstplan, des Dienstplans, dem Dienstplan, den Dienstplan
Plural: die Dienstpläne, der Dienstpläne, den Dienstplänen, die Dienstpläne