Ich schaffe die Aufgabe nicht.

Breakdown of Ich schaffe die Aufgabe nicht.

ich
I
nicht
not
die Aufgabe
the task
schaffen
to manage
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Questions & Answers about Ich schaffe die Aufgabe nicht.

What does schaffen mean in Ich schaffe die Aufgabe nicht and how is it different from können?

In this sentence, schaffen is a full verb meaning to manage, to accomplish, or to get something done. It expresses both the ability and the completion of an action.
By contrast, können is a modal verb meaning to be able to, and it must be combined with another verb: for example, Ich kann die Aufgabe nicht lösen. With schaffen, you don’t need a second verb: Ich schaffe die Aufgabe nicht already means “I can’t manage/accomplish the task.”

Why is nicht placed at the end of the sentence?

In German, when you negate the entire verb phrase including its object, nicht typically follows the direct object. That gives the order:
Subject (Ich) – Verb (schaffe) – Object (die Aufgabe) – Negation (nicht).

Why is the article die used before Aufgabe?
Aufgabe is a feminine noun. In the accusative case (as the direct object), the definite article for feminine nouns remains die. You must learn noun genders in German because they affect the articles.
Can I omit the article and say Ich schaffe Aufgabe nicht?
No. In German, a singular countable noun usually requires a determiner (definite article, indefinite article, possessive pronoun, etc.). You need either die Aufgabe (the task) or eine Aufgabe (a task). So you can say Ich schaffe die Aufgabe nicht or Ich schaffe eine Aufgabe nicht, but not without an article.
How can I emphasize die Aufgabe in the sentence?

You can put the object first to give it emphasis. The verb stays in the second position, so you get:
Die Aufgabe schaffe ich nicht.
Nicht still follows the object to negate the whole statement.

How do I express the same idea in the perfect tense?

Use the auxiliary haben plus the past participle geschafft. The structure for negation remains similar:
Ich habe die Aufgabe nicht geschafft.
(Subject – haben – object – nicht – past participle)

Is there a more informal way to say this, using a different verb?

Yes. In colloquial German you can use kriegen with the particle hin:
Ich kriege die Aufgabe nicht hin.
It means roughly the same as Ich schaffe die Aufgabe nicht, but feels more casual.

Could I use erledigen instead of schaffen?
You could: Ich erledige die Aufgabe nicht means “I’m not completing/taking care of the task.” However, erledigen doesn’t carry the nuance of struggling or trying and failing that schaffen often does.