C'est ce livre que je cherche depuis hier.

Use C'est to identify or point to a specific noun with a determiner (like ce, le, mon, un, etc.). Saying Il est ce livre is ungrammatical.

• Correct: C'est ce livre…
• Also correct in other contexts: Il est
  • adjective/profession/nationality without an article (e.g., Il est professeur).

No.

• The ce in C'est is a pronoun (it = this/that), contracted with est.
• The ce in ce livre is a demonstrative determiner meaning “this/that” before the noun.

Because ce livre is the direct object of chercher inside the relative clause. Que introduces an object; qui introduces a subject.

• Object: C'est ce livre que je cherche (I am looking for it).
• Subject: C'est ce livre qui est rare (It is rare).

A relative pronoun. It stands for ce livre and serves as the direct object of cherche. You must not repeat it with a pronoun:

• Correct: …ce livre que je cherche…
• Incorrect: …ce livre que je le cherche…

French uses the present with depuis to express an action that started in the past and still continues. It corresponds to English “have been -ing.”

• Je cherche ce livre depuis hier = I’ve been looking for this book since yesterday.

Generally no, if you’re still looking. Use the present with depuis for ongoing actions.
Use the passé composé only if the action is complete; then French usually prefers pendant:

• Completed: Je l’ai cherché pendant un jour, puis j’ai arrêté.
  Using depuis with a completed action is typically avoided in standard French.

No. Chercher is directly transitive:

• Correct: Je cherche ce livre.
• Incorrect: Je cherche pour ce livre.
  Note: chercher à + infinitive means “to try to” (e.g., chercher à comprendre).

It’s a cleft sentence used to focus or emphasize X.

• Neutral: Je cherche ce livre depuis hier.
• Focus on the object: C’est ce livre que je cherche depuis hier.
• Another focusing option (topicalization): Ce livre, je le cherche depuis hier.

Yes.

• Ce livre-là = that book (often deictic, pointing away).
• Ce livre-ci = this book (closer), less common in speech.
  Example: C’est ce livre-là que je cherche depuis hier.

Yes, with nuances:

• C’est le livre que je cherche: “the book” (assumes shared knowledge of which one).
• C’est ce livre…: “this/that book” (deictic, pointing).
• C’est celui que je cherche: pronoun form when the noun is clear from context.

Because lequel is not used as a simple object relative after a noun. Use que. Lequel appears mostly after prepositions:

• C’est le livre pour lequel je me suis déplacé.

Common placements:

• Je cherche ce livre depuis hier. (neutral)
• C’est ce livre que je cherche depuis hier. (focus on the object)
• Depuis hier, je cherche ce livre. (fronted time phrase)
• C’est depuis hier que je cherche ce livre. (focus on the time)
  Avoid splitting the verb phrase awkwardly (e.g., Je depuis hier cherche…).

Prefer: Ce sont ces livres que je cherche depuis hier.

• In careful French, use Ce sont with plural; in casual speech, many say C’est with plurals, but formal writing sticks to Ce sont.
• que does not change.

Avoid combining it with depuis. Être en train de highlights what’s happening right now, while depuis expresses ongoing duration since a past point. Prefer:

• Je cherche ce livre depuis hier.
• Or without depuis: Je suis en train de chercher ce livre.

Both, depending on what follows:

• Since + starting point: depuis hier, depuis 2022, depuis lundi.
• For + duration: depuis deux jours, depuis une heure.