Minä käyn kirjastossa kaksi kertaa viikossa.

Here käyn comes from the verb käydä. With places, käydä often means to visit, to go to and come back, or to go somewhere regularly.

So:

• Menen kirjastoon = I am going to the library.
• Käyn kirjastossa = I go to the library / I visit the library.

In this sentence, käyn fits well because the sentence describes a habit, not just one trip in progress.

Because käydä is the basic dictionary form, but Finnish changes the verb stem when it is conjugated.

For käydä, the present-tense stem is käy-, and then the personal ending is added:

• minä käyn
• sinä käyt
• hän käy
• me käymme
• te käytte
• he käyvät

So käyn is simply the 1st person singular present form: käy + n.

Because käydä usually takes the place you visit in a location case, not a direction case.

• kirjastossa = in / at the library
• kirjastoon = into / to the library

With mennä, you normally use kirjastoon:

• Menen kirjastoon.

With käydä, you normally use kirjastossa:

• Käyn kirjastossa.

This is one of those verb patterns you should learn as a unit: käydä + place in a location case.

Finnish and English do not always match word-for-word in how they express movement and location.

In English, go to the library focuses on the destination. In Finnish, käydä treats the library as the place where the visit happens, so kirjastossa is used.

So even though kirjastossa literally looks like in the library, the full phrase käydä kirjastossa is the normal Finnish way to express go to the library / visit the library.

Finnish has no articles, so there is no direct equivalent of a, an, or the.

That means kirjastossa can mean:

• in a library
• in the library
• or, in this kind of sentence, simply at/to the library

The exact meaning comes from context, not from a separate article word.

You can absolutely omit minä.

Because käyn already tells us the subject is I, Finnish often leaves the pronoun out:

• Käyn kirjastossa kaksi kertaa viikossa.

Adding minä is still correct. It can add:

• emphasis
• contrast
• clarity

For example, Minä käyn kirjastossa, mutta veljeni ei käy.

So in a neutral sentence, leaving out minä is often more natural.

Yes, both are possible.

• kaksi kertaa = two times
• kahdesti = twice

So these both work:

• Käyn kirjastossa kaksi kertaa viikossa.
• Käyn kirjastossa kahdesti viikossa.

Also, kertaa is in the partitive singular. After numbers greater than one, Finnish usually puts the counted noun in the singular partitive:

• kaksi kertaa
• kolme kertaa
• neljä kertaa

So kaksi kertaa is the normal grammar.

In Finnish, frequency is often expressed with the pattern:

• kerran päivässä = once a day
• kaksi kertaa viikossa = twice a week
• kolme kertaa kuukaudessa = three times a month

So viikossa is the standard form used in this kind of expression. It corresponds to English a week or per week.

You do not need to translate it too literally. The easiest way is to learn the whole pattern:

X kertaa + time word in -ssa/-ssä

No, Finnish word order is fairly flexible. The most neutral version is:

• Käyn kirjastossa kaksi kertaa viikossa.
• or Minä käyn kirjastossa kaksi kertaa viikossa.

But you can move things around to change emphasis:

• Kaksi kertaa viikossa käyn kirjastossa.
  Emphasizes how often.

• Kirjastossa käyn kaksi kertaa viikossa.
  Emphasizes where.

So the original word order is natural, but not the only possible one.

It describes a habit or regular routine.

The clues are:

• käyn in the present tense
• kaksi kertaa viikossa, which shows repeated frequency

So the sentence means that this is something the speaker does regularly, not necessarily something happening at this exact moment.