Learn Hardcore Swedish: Barnen lär sig att klä på sig själva genom att öva varje morgon. - The children learn to dress themselves by practicing every morning.

lära on its own usually means to teach someone else:
- Jag lär barnen svenska. = I teach the children Swedish.
lära sig means to learn:
- Barnen lär sig svenska. = The children are learning Swedish.

In your sentence, Barnen lär sig … must include sig, because the children are learning something themselves, not teaching someone else.

What does klä på sig mean, and why do we need sig?

klä på sig is a reflexive verb meaning to get dressed / to put clothes on oneself.

klä = to dress
på = on
sig = oneself

Together: klä på sig = literally dress on oneself → get dressed.

You need sig to show that the subject (the children) is doing the action to itself. Without sig, klä på would sound incomplete or mean dressing someone else:

Mamman klär på barnen. = The mother dresses the children.
Barnen klär på sig. = The children get dressed (themselves).

Why is there själva after sig? Isn’t sig enough?

sig is required for the verb klä på sig and simply marks it as reflexive.

själva adds emphasis, similar to themselves in English:

Barnen klär på sig. = The children get dressed.
Barnen klär på sig själva. = The children dress themselves (as opposed to someone else dressing them).

So:

sig = part of the reflexive verb klä på sig
själva = extra emphasis: by themselves / on their own

Can I leave out själva and still be correct?

Yes.

Barnen lär sig att klä på sig genom att öva varje morgon.

This is grammatically correct and natural. It means The children are learning to get dressed by practicing every morning.

Adding själva just highlights the independence:

Barnen lär sig att klä på sig själva … = they are learning to dress by themselves, not with help.

What does genom att mean here?

genom att literally is through by-to, but functionally it means by (as in by doing something).

Structure:

genom att + infinitive = by doing [verb]

In your sentence:

genom att öva varje morgon = by practicing every morning

Other examples:

Han blev bättre på svenska genom att prata varje dag.
= He got better at Swedish by speaking every day.
Hon lärde sig simma genom att ta lektioner.
= She learned to swim by taking lessons.

Why do we use the present tense lär and övar for something that happens repeatedly?

Swedish uses the present tense for:

things happening right now
repeated or habitual actions
general truths

So:

Barnen lär sig … genom att öva varje morgon.
= The children learn / are learning … by practicing every morning.

English might use either learn or are learning, but Swedish uses the same present tense form lär and övar for both meanings. Context (like varje morgon) shows it is a repeated action.

Why is it att klä på sig and att öva? What does att do?

att is usually the infinitive marker, similar to to in English before a verb:

att klä på sig = to get dressed
att öva = to practice

General pattern:

lär sig att + infinitive = learns to + verb
- Barnen lär sig att läsa. = The children are learning to read.
- Jag lärde mig att köra bil. = I learned to drive.

So here:

lär sig att klä på sig = are learning to get dressed
genom att öva = by practicing

Can I omit att and say Barnen lär sig klä på sig?

Yes, in everyday Swedish you will often hear both:

Barnen lär sig att klä på sig.
Barnen lär sig klä på sig.

Both are correct and natural.

With lära sig, att before the infinitive is optional in many cases. Some verbs almost always drop att (like kan, vill, måste), while others can go either way depending on style and rhythm. Here, it’s fine either way.

What is the difference between Barnen lär sig att klä på sig and Barnen lär sig att klä på dem?

They mean different things:

Barnen lär sig att klä på sig.
= The children are learning to get dressed (themselves).
Barnen lär sig att klä på dem.
= The children are learning to dress them (some other people/animals).

sig always refers back to the subject (here: the children).
dem refers to some other group of people (not the subject).

Could the word order be Varje morgon lär sig barnen att klä på sig själva genom att öva?

Yes, that word order is grammatically correct and natural:

Varje morgon lär sig barnen att klä på sig själva genom att öva.

Word order is quite flexible in Swedish when moving time expressions like varje morgon. You can say:

Barnen lär sig att klä på sig själva genom att öva varje morgon.
Varje morgon lär sig barnen att klä på sig själva genom att öva.

Both are fine. The second version puts more emphasis on varje morgon (every morning).