Learn Hardcore Russian: Я обещаю вернуть книгу завтра.

Because the promise is to perform one complete action tomorrow. Russian uses the perfective infinitive (вернуть) after verbs like обещать when you mean a single, completed future event. The imperfective (возвращать) would suggest a repeated/habitual process, e.g., Обещаю возвращать книги вовремя (I promise to return books on time, habitually).

Why is книга in the form книгу?

It’s the direct object, so it’s in the accusative case. Most feminine nouns ending in -a/-я take -у/-ю in the accusative singular: книга → книгу. You can ask the question что? (what?) to check: вернуть что? — книгу.

Can I say Я обещаю, что верну книгу завтра?

Yes. Both are natural. Я обещаю вернуть книгу завтра (with an infinitive) is compact and very common; Я обещаю, что верну книгу завтра (with a что-clause) sounds a bit more explicit/emphatic or formal. Meaning is the same.

Can I say Я обещаю верну книгу завтра without что?

No. If you use the finite future form верну, you need the conjunction что: Я обещаю, что верну книгу завтра. Without что it’s ungrammatical. Otherwise, keep the infinitive: обещаю вернуть.

Should there be a comma after обещаю in the original sentence?

No. When a verb governs an infinitive (обещаю вернуть), no comma is used. You add a comma only before что in the version with a subordinate clause: Я обещаю, что верну…

Can I drop the pronoun Я?

Yes. Обещаю вернуть книгу завтра is fine, especially in replies or contexts where the subject is obvious. Including Я can add emphasis or clarity.

Where can I put завтра?

It’s flexible. Common options:

Я обещаю вернуть книгу завтра. (default, very natural)
Я обещаю завтра вернуть книгу. (slight focus on the time)
Завтра я обещаю вернуть книгу. (fronted for strong time emphasis) All are grammatical; word order mainly affects emphasis.

Do I need to mention the person I’m returning the book to? How?

Not required, but to specify the recipient use the dative:

Я обещаю вернуть вам книгу завтра.
…вернуть книгу другу завтра. For institutions you can also use a destination phrase: вернуть/сдать книгу в библиотеку (to return/turn in the book to the library).

Why not вернусь книгу?

Because вернуться is reflexive and intransitive: it means “to return (oneself)” and can’t take a direct object. Use:

Я вернусь завтра. (I will come back tomorrow.)
Я верну книгу завтра. (I will return the book tomorrow.)

Is отдать or сдать interchangeable with вернуть?

Close, but with nuances:

вернуть: to give something back to its owner (explicit “back” idea).
отдать: to hand/give over; may or may not imply giving back. Отдать книгу could be giving it to someone new.
сдать: to turn in/submit to an authority or office. Typical with destinations: сдать книгу в библиотеку.

Why is обещаю in the present when the action is in the future? What about пообещаю?

You’re promising now (present), while the promised action is future. Пообещаю means “I will (at some point) make a promise,” which is about the act of promising later, not the promise you’re giving now. Note: there is no form обещу in standard Russian.

How do you conjugate and pronounce обещать?

Present tense: я обещаю, ты обещаешь, он/она обещает, мы обещаем, вы обещаете, они обещают. The stress is on the -ча- in all these forms (обещА-). The letter щ sounds like a long, soft “sh” (similar to English “sh” but longer/softer).

What case is завтра? How do I say “tomorrow morning”?

Завтра is an adverb, so it has no case. To specify parts of the day, use phrases like завтра утром/днём/вечером (literally “tomorrow in the morning/afternoon/evening”).

How do I say “the book” if Russian has no articles?

Use context or a demonstrative:

эту книгу (this book, specific and nearby/known)
ту книгу (that book) For example: Я обещаю вернуть эту книгу завтра.