The dog starts to limp.

Porque el sujeto es The dog, que equivale a it.
En presente simple, con he / she / it se agrega -s al verbo:

• I start
• You start
• We start
• They start
• He/She/It starts

Por eso: The dog starts to limp.

Porque después de start una estructura muy común es:

start + to + verbo base

Entonces:

• start to limp
• start to run
• start to bark

Aquí to limp está en infinitivo.

Sí. Start to limp y start limping son correctos y muy parecidos en significado.

• The dog starts to limp
• The dog starts limping

En inglés, con start se puede usar tanto:

• start + to + verbo
• start + verbo-ing

En la mayoría de los casos, la diferencia es mínima.

Aquí limp es un verbo.
Después de to, va en su forma base:

• to limp
• to walk
• to eat

Ojo: limp también puede relacionarse con la idea de cojear, pero en esta oración funciona claramente como verbo.

En inglés, normalmente se necesita un artículo o algún determinante antes de un sustantivo singular contable.

Por eso se dice:

• The dog
• A dog
• My dog

Pero no normalmente Dog starts to limp.

Aquí the indica que hablamos de un perro específico, probablemente ya conocido por el contexto.

La diferencia principal es la idea de inicio.

• The dog limps = el perro cojea / tiene la costumbre o condición de cojear
• The dog starts to limp = el perro empieza a cojear

Starts to limp marca el momento en que esa acción comienza.

Sí, también se puede decir:

• The dog begins to limp.

Suena correcto y natural.
Start es muy común en inglés diario; begin también es correcto, a veces un poco más formal según el contexto.

Sí se puede usar, pero cambia un poco el enfoque.

• The dog starts to limp: presente simple; puede sonar a narración, descripción o secuencia
• The dog is starting to limp: presente continuo; enfatiza que el cambio está ocurriendo ahora mismo

Ambas son posibles. La versión original solo eligió el presente simple.

En inglés de EE. UU. se pronuncia aproximadamente /lɪmp/.

Puntos importantes:

• la vocal suena como una i corta, parecida a la de sit
• termina con una p clara al final

No suena como una palabra española.
Conviene practicarla como una sola sílaba: limp.

En habla natural, muchas veces suena algo como:

starts tə limp

Puntos útiles:

• starts termina con un grupo de consonantes: -rts
• to suele reducirse a tə
• limp mantiene la p final

No necesitas pronunciar cada sonido de forma exagerada; lo importante es que suene fluido.

Limp es un verbo regular. Sus formas principales son:

• presente: limp
• pasado: limped
• participio pasado: limped

Ejemplo:

• The dog limped home.

Con start en presente simple, se usa do/does.

Pregunta:

• Does the dog start to limp?

Negación:

• The dog does not start to limp.
• The dog doesn’t start to limp.

Nota: al usar does, el verbo principal vuelve a la forma base: start, no starts.

Es una duda muy común:

• limp = verbo → cojear
• lame = normalmente adjetivo → cojo / con dificultad para caminar

Ejemplos:

• The dog limps.
• The dog is lame.

O sea, limp describe la acción; lame describe la condición.