The printer is out of paper, so I can’t print the ticket.

Porque out of paper describe un estado/condición (la impresora está sin papel). En inglés, para estados se usa mucho to be:

• The printer is out of paper. = La impresora está sin papel.
  Con has sonaría raro en este caso. Si quieres usar has, tendría que cambiar la estructura:
• The printer has no paper. (menos común, pero posible)
• The printer doesn’t have any paper. (más natural que has no)

Out of + sustantivo significa sin / que ya no queda. Es muy común para decir que algo se terminó. Ejemplos:

• We’re out of milk. = No nos queda leche.
• I’m out of cash. = No me queda efectivo.
• The store is out of stock. = La tienda no tiene existencias.

Porque paper en este contexto es un sustantivo no contable (material en general). Por eso se dice:

• out of paper (natural)
  Y no: out of a paper (incorrecto aquí).
  Si hablas de un papel específico (una hoja/documento), ahí sí puede ser contable:
• a paper puede significar un periódico o un trabajo/artículo académico, según el contexto.

So introduce un resultado/consecuencia:

• No hay papel → por eso no puedo imprimir.
  Because introduce una causa. Cambia el orden típico:
• I can’t print the ticket because the printer is out of paper.
  Ambas son correctas, pero:
• so = resultado (más “entonces/por eso”)
• because = causa (más “porque”)

Porque aquí hay dos oraciones completas unidas por so:
1) The printer is out of paper (oración completa)
2) I can’t print the ticket (oración completa)
En ese caso, es común (y recomendado) usar coma antes de so.

can’t = cannot = no puedo (incapacidad o imposibilidad).
Aquí es imposibilidad: no puedes imprimir porque falta papel.
don’t = no (negación de hábito/acción), no expresa “no poder”:

• I don’t print tickets at home. = No imprimo boletos en casa (no lo hago).
• I can’t print the ticket. = No puedo imprimir el boleto (no es posible).

can’t es una contracción común y natural (hablada y escrita informal). En algo más formal puedes escribir:

• I cannot print the ticket.
  En conversación normal, can’t es lo más común.

the se usa cuando el oyente puede identificar de cuál hablas (algo específico en el contexto):

• the printer = la impresora “de aquí” (por ejemplo, la de la oficina)
• the ticket = el boleto específico que necesitas imprimir (por ejemplo, el de tu vuelo)
  Si fuera uno cualquiera (no específico), podrías usar a:
• I need a printer. = Necesito una impresora (cualquiera).
• I printed a ticket. = Imprimí un boleto (uno, no necesariamente “ese” conocido).

Aquí print es un verbo: imprimir. Es transitivo, o sea, normalmente lleva objeto directo:

• print the ticket = imprimir el boleto
  También puede ser sustantivo en otros contextos (menos común para principiantes):
• a print = una impresión / una copia impresa (por ejemplo, una foto impresa).