I like your hat.

En inglés el sujeto es la persona que siente el gusto:

• I like your hat
  
  • Sujeto: I (yo)
  • Verbo: like (gustar)
  • Objeto: your hat (tu sombrero)

En español, en Me gusta tu sombrero, el sujeto gramatical es tu sombrero, y me es un pronombre de objeto indirecto.

En inglés nunca usamos esa estructura de gustar. Siempre se dice:

• I like your hat. (no Your hat likes me)

Las dos expresan algo positivo, pero cambian en intensidad:

• I like your hat: Me gusta tu sombrero. Suena natural, amable, neutral.
• I love your hat: Me encanta tu sombrero. Es más fuerte, más entusiasta.

En una conversación normal:

• Comentario casual: I like your hat.
• Comentario muy entusiasmado o enfático: I love your hat!

No. Esa estructura es incorrecta en inglés.

Para decir me gusta mucho tu sombrero, usa:

• I really like your hat.
• I like your hat a lot.
• I like your hat very much.

El adverbio de intensidad (really, a lot, very much) no va entre like y your hat de esa forma. Nunca digas I like very your hat.

En I like your hat usamos your, que es adjetivo posesivo.

• you = tú / usted / ustedes (pronombre sujeto u objeto)
  
  • I like you. (Me caes bien / Me gustas tú)
• your = tu / su / sus (adjetivo posesivo antes de un sustantivo)
  • I like your hat. (Me gusta tu sombrero)
• yours = tuyo / suyo / de ustedes (pronombre posesivo, sin sustantivo después)
  • The hat is yours. (El sombrero es tuyo)

En la frase original, como hay un sustantivo (hat), tiene que ser your, no you ni yours.

hat y cap son tipos de sombreros, pero se usan diferente:

• hat: más general; incluye sombreros de ala, formales, de invierno, etc.
  • I like your hat. (puede ser cualquier sombrero)
• cap: generalmente gorra con visera, tipo gorra de béisbol.
  • I like your cap. (gorra)

Si la persona trae una gorra de visera, lo más natural en inglés americano es:

• I like your cap.

Pero hat también se usa de forma general o si no es tan importante el tipo exacto.

En una oración normal, no. En inglés casi siempre necesitas el sujeto:

• Correcto: I like your hat.
• Incorrecto como oración completa: Like your hat.

Solo en contextos muy informales (mensajes, comentarios rápidos) algunas personas pueden escribir:

• Like your hat!

Ahí se está omitiendo el I por estilo, pero gramaticalmente la oración completa es I like your hat.
Para aprender, acostúmbrate a decir siempre: I like your hat.

Usas el auxiliar do en presente simple.

Negativa:

• I don’t like your hat.
  (No me gusta tu sombrero.)

Pregunta:

• Do you like my hat?
  (¿Te gusta mi sombrero?)

Resumen:

• Afirmativa: I like your hat.
• Negativa: I don’t like your hat.
• Pregunta: Do you like my hat?

En inglés estándar, normalmente no. El verbo like es un stative verb (verbo de estado) y casi siempre va en presente simple:

• Correcto y natural: I like your hat.

I’m liking your hat puede aparecer en inglés MUY informal o publicitario para sonar gracioso o muy enfático, pero no es la forma normal.

Para hablar bien y natural, usa siempre:

• I like your hat.

Cambia el número:

• I like your hat.
  Me gusta tu sombrero (uno en particular, el que traes puesto o uno específico).

• I like your hats.
  Me gustan tus sombreros (varios, en general, o una colección).

Si estás mirando sólo el sombrero que la persona trae hoy, di:

• I like your hat.

En inglés your sirve para todo:

• tú → your
• usted → your
• ustedes → your

Contexto de uso:

• A un amigo: I like your hat. (tú)
• A un jefe: I like your hat. (usted)
• A varias personas (hablando de un sombrero compartido, por ejemplo un disfraz): I like your hat. (ustedes)

El grado de formalidad no se marca con your, sino con el tono, el vocabulario y el contexto.