The router is in the living room.

Porque router es un sustantivo contable singular en inglés, y normalmente no puede ir solo. Necesita un determinante, por ejemplo:

• a router = un router, cualquiera
• the router = el router, uno específico
• my router = mi router

En esta oración, the router significa que hablamos de un router específico que ya sabemos cuál es.

Porque el sujeto, the router, es singular. En presente del verbo to be, se usa así:

• I am
• you are
• he/she/it is
• we are
• they are

Como router es una cosa y además es singular, corresponde it is, por eso decimos The router is...

Se usa in porque el router está dentro de un espacio: the living room.

Guía rápida:

• in = dentro de un lugar cerrado o delimitado
  
  • in the living room
• on = sobre una superficie
  
  • on the table
• at = en un punto o ubicación general
  
  • at home, at school

Entonces, si el router está dentro de la sala, lo natural es in the living room.

Porque en esta oración hablamos de una sala específica, normalmente la de la casa. En inglés, también es normal usar artículo con las habitaciones cuando hablamos de un lugar concreto:

• the kitchen
• the bedroom
• the bathroom
• the living room

Decir solo living room en esta oración sonaría incompleto.

Living room es una expresión fija que significa sala o sala de estar.

No conviene traducirla palabra por palabra como cuarto de vivir, porque así no se dice en español ni ayuda mucho para aprenderla. Lo mejor es memorizarla como una sola unidad:

• living room = sala / sala de estar

Es un sustantivo compuesto muy común en inglés.

En inglés de Estados Unidos, lo más común es pronunciarlo parecido a ráu-der.

Una aproximación para hispanohablantes sería:

• router ≈ ráu-der

La t en inglés americano muchas veces suena parecida a una d suave entre vocales.

También existe otra pronunciación, parecida a rú-ter, pero en Estados Unidos, para el aparato de internet, mucha gente dice ráu-der.

Sí. Muy comúnmente se contrae a:

• The router's in the living room.

Esa contracción es natural en conversación y en escritura informal.

Ambas formas son correctas:

• The router is in the living room. = más completa
• The router's in the living room. = más natural al hablar

La estructura es:

• The router = sujeto
• is = verbo to be
• in the living room = complemento de lugar

O sea:

Sujeto + verbo + lugar

Es una estructura muy común para decir dónde está algo:

• The keys are on the table.
• My phone is in my bag.
• The router is in the living room.

Sí, gramaticalmente sí, pero cambia el sentido.

• The router is in the living room. = hablamos de un router específico
• A router is in the living room. = hay un router en la sala, uno cualquiera o uno no identificado antes

En muchas situaciones, si presentas la información por primera vez, incluso sonaría más natural:

• There is a router in the living room.

Pero si ya sabemos de cuál router hablas, the router es lo mejor.

Normalmente, habla solo de la ubicación actual del router. No necesariamente significa que esté ahí para siempre.

The router is in the living room simplemente dice dónde está. Según el contexto, puede ser:

• su lugar habitual
• un lugar temporal

La oración por sí sola no especifica eso. Solo indica ubicación.

Sí, pero no es el orden más común en conversación normal.

La forma más natural y estándar es:

• The router is in the living room.

La versión:

• In the living room is the router

suena más marcada, más literaria o enfática. Para aprender inglés cotidiano, conviene usar la estructura normal: sujeto + verbo + lugar.