I printed my boarding pass in order to travel.

Porque la oración está en pasado simple. Printed indica que la acción ya ocurrió: primero imprimí el pase de abordar y luego viajé o me preparé para viajar.

• I print = imprimo / imprimo habitualmente
• I printed = imprimí

Además, print es un verbo regular, así que en pasado normalmente se forma con -ed:
print → printed

Se pronuncia aproximadamente PRIN-tid.

La terminación -ed aquí suena como id porque el verbo base termina en sonido t:
print → printed

No suena como una sola t larga, sino como dos sílabas claras:

• print
• print-ed

Porque my muestra posesión: es mi pase de abordar, no cualquier pase.

• my boarding pass = mi pase de abordar
• the boarding pass = el pase de abordar

En esta oración, my es lo más natural porque la persona habla de su propio documento.
Si dijéramos the boarding pass, sonaría más general o dependería mucho del contexto.

My es un adjetivo posesivo y va antes del sustantivo:

• my boarding pass

Mine es un pronombre posesivo, o sea, reemplaza al sustantivo:

• This boarding pass is mine.

Entonces:

• my
  • sustantivo
• mine = reemplaza al sustantivo

Por eso en la oración correcta se usa my, no mine.

In order to se usa para expresar propósito o finalidad. En español sería algo como:

• para
• con el fin de

En la oración, indica el objetivo de imprimir el pase de abordar:

I printed my boarding pass in order to travel.
= Lo imprimí para viajar.

Suena un poco más formal o más enfático que solo to.

Sí. En muchos casos, to travel y in order to travel expresan la misma idea de propósito.

• I printed my boarding pass to travel.
• I printed my boarding pass in order to travel.

La segunda versión suena más formal o más explícita.
En conversación diaria, muchas veces to es suficiente.

Porque después de to se usa la forma base del verbo:

• to travel
• to print
• to go

No se usa:

• to travels ❌
• to traveled ❌
• to traveling ❌

Eso pasa también con in order to, porque termina en to + verbo base.

No exactamente.

Boarding pass es el documento que te permite abordar el avión.
Ticket suele referirse más al boleto o pasaje que compraste.

Muchas veces están relacionados, pero no son idénticos.

• ticket = boleto / pasaje
• boarding pass = pase de abordar

En aeropuertos de Estados Unidos, boarding pass es la expresión muy común.

Sí, es gramatical y se entiende bien.
Sin embargo, en la vida real, muchas personas también dirían algo más simple, por ejemplo:

• I printed my boarding pass before traveling.
• I printed my boarding pass so I could travel.
• I printed my boarding pass.

La versión con in order to es correcta, pero puede sonar un poco más formal o más explicativa.

Porque en inglés, el pronombre I siempre se escribe con mayúscula, sin importar en qué parte de la oración aparezca.

Por ejemplo:

• I printed my boarding pass.
• When I arrived, I printed it.

Esto es una regla fija del inglés. No depende de que esté al inicio de la oración.

Sí, boarding pass es un sustantivo contable.

• one boarding pass
• two boarding passes

Aquí se usa en singular porque la persona habla de un solo pase de abordar: el suyo.

Por eso:

• my boarding pass = singular
• my boarding passes = plural, si tuviera varios

Sí, esa oración también es correcta.

• I printed my boarding pass in order to travel.
• In order to travel, I printed my boarding pass.

Ambas expresan propósito.
La diferencia principal es el enfoque:

• si pones in order to travel al inicio, destacas primero el propósito;
• si lo pones al final, primero mencionas la acción y luego explicas para qué fue.