Learn Hardcore Inglés: Close your eye.

Sí, pero solo en contextos específicos. Gramaticalmente se entiende, pero en la mayoría de los casos suena más natural decir Close your eyes porque normalmente una persona cierra los dos ojos.

Close your eye = cierra un ojo
Close your eyes = cierra los ojos

Por eso, si no hay una razón para hablar de un solo ojo, la opción más común es Close your eyes.

¿Por qué se usa eye en singular? ¿No debería ser eyes?

Esa es una de las dudas más comunes, y sí: normalmente debería ser eyes.

Usamos eye en singular solo si hablamos de un solo ojo. Por ejemplo:

Close your left eye. = Cierra tu ojo izquierdo.
Close one eye. = Cierra un ojo.

Si la intención es decir cierra los ojos, entonces lo correcto y natural es:

Close your eyes.

¿Qué función tiene close en esta oración?

Aquí close es un verbo y está en imperativo, o sea, se usa para dar una orden, instrucción o indicación.

Ejemplos del mismo tipo:

Close the door.
Open your mouth.