Learn Hardcore Inglés: This snack has peanuts.

Porque el sujeto es This snack (este snack/este bocadillo), que es tercera persona singular (it).
En present simple, el verbo have cambia a has con he / she / it:

I/you/we/they have
he/she/it has
Entonces: This snack has peanuts.

¿This se refiere a “este” o “esta”? ¿Cómo sé el género?

En inglés this significa este/esta según el contexto, pero el inglés no marca género en los demostrativos.
El género lo decides en español al traducirlo (por ejemplo, este snack o esta botana), pero en inglés siempre es this.

¿Se puede decir This snack have peanuts?

No, suena incorrecto. Con un sujeto singular como this snack, se usa has.
This snack have peanuts solo sería posible si el sujeto fuera plural, por ejemplo: These snacks have peanuts.

¿“Peanuts” va con artículo? ¿Por qué no dice has the peanuts o has peanuts?

Aquí se usa peanuts sin artículo porque se habla de , no de unos cacahuates específicos.