Learn Hardcore Inglés: I go to the bank to get cash before I travel. - Voy al banco a sacar efectivo antes de viajar.

Si dices I am going to the bank to get cash before I travel, suena más a un plan específico que estás haciendo ahora o pronto, no necesariamente algo habitual.
Las dos formas son posibles, pero I go enfatiza el hábito, mientras que I am going enfatiza un plan en curso o futuro cercano.

¿Siempre debo decir to the bank con the? ¿Puedo decir I go to bank?

En este caso, debes usar el artículo: to the bank.

Bank es un sustantivo contable: un banco, dos bancos.
En singular, casi siempre necesita artículo: a bank, the bank, my bank, etc.

Decir I go to bank es incorrecto.
Puedes decir:

I go to the bank (a un banco específico, que tanto tú como el oyente pueden identificar).
I go to a bank (a cualquier banco, no uno en particular).

¿Qué diferencia hay entre get cash, get money y withdraw money?

Las tres expresiones están relacionadas, pero no son exactamente iguales:

Get cash: es muy común y natural. Significa conseguir dinero en efectivo, normalmente del banco o del cajero.
- I go to the bank to get cash.
Get money: es más general; puede ser efectivo, transferencia, salario, etc.
- I need to get money to pay my bills.
Withdraw money: es más técnico / formal; se usa específicamente para retirar dinero de una cuenta bancaria.
- I withdraw money from my savings account.

En el contexto de ir al banco antes de viajar, get cash es la opción más natural del inglés cotidiano.

¿Para qué sirve el to en to get cash?

Ese to introduce el infinitivo de propósito: indica para qué haces la acción.

Estructura:

I go to the bank to get cash.
(Voy al banco para conseguir efectivo.)

En inglés, cuando expresas propósito, normalmente usas:

to + verbo base
Ejemplos:
- I study to learn English.
- She works to pay her rent.

No usamos una preposición equivalente a para separada; el to del infinitivo cumple esa función.

¿Por qué se dice before I travel y no before I will travel?

Después de palabras de tiempo como before, after, when, while, as soon as, etc., en inglés se suele usar presente simple, aunque la idea sea futura.

Por eso se dice:

I will get cash before I travel. (no before I will travel)
Call me when you arrive. (no when you will arrive)

La oración ya tiene una referencia futura implícita (por el contexto o por otro verbo en futuro), así que el presente simple en la cláusula con before es la forma correcta.

Decir before I will travel suena antinatural o incorrecto en casi todas las situaciones.

¿Puedo decir before travelling en lugar de before I travel? ¿Cambia el significado?

Sí, puedes decir:

I go to the bank to get cash before travelling.

La idea básica es la misma, pero hay matices:

before I travel
Más claro y específico: tú eres el sujeto (I). Suena directo y neutral.
before travelling
Es más general/impersonal; en contexto normalmente también se entiende que se trata de ti, pero el sujeto queda implícito.

Ambas son correctas, pero before I travel es un poco más clara y típica en inglés neutral.

¿Cash es contable o incontable? ¿Debo decir a cash, some cash, etc.?

En este uso, cash es un sustantivo incontable:

No se dice a cash, two cashes (incorrecto).
Se usa con some, any, much, a lot of, etc.

Ejemplos correctos:

I need some cash.
Do you have any cash?
I don’t have much cash.

En la oración I go to the bank to get cash, no es obligatorio poner some; la frase suena natural como está.
Si quieres, puedes decir:

to get some cash (también muy común).

¿Cuál es la diferencia entre travel, trip y journey? ¿Por qué aquí se usa I travel?

Diferencias básicas:

Travel
- Verbo: viajar.
  - I travel a lot for work.
- Sustantivo incontable: el acto de viajar en general.
  - Travel can be expensive.
Trip
- Sustantivo contable: un viaje específico (como viaje en español).
  - My trip to Mexico was amazing.
Journey
- Sustantivo contable: el trayecto, el recorrido (más enfocado en el proceso de ir de un lugar a otro).
  - The journey took ten hours.

En before I travel, travel es un verbo:

I travel = yo viajo.

Si quisieras usar trip, tendrías que cambiar la estructura:

before my trip (antes de mi viaje).

¿Por qué se repite el pronombre I y no se puede omitir, como en español?

En inglés, normalmente no se omite el sujeto.
Por eso:

I go to the bank to get cash before I travel.
(y no simplemente …before travel cuando el sujeto es I).

En español se puede decir:

Voy al banco a sacar efectivo antes de viajar.

y el sujeto se entiende por la forma del verbo (voy, viajar).
En inglés, la forma del verbo no cambia tanto como en español, así que el pronombre I es importante para saber quién hace la acción.

Puedes omitirlo en algunos estilos muy informales o telegráficos (mensajes, notas), pero en inglés estándar se mantiene.

¿Podría decir I go into the bank o I go at the bank? ¿Cuál es la preposición correcta con go aquí?

En este contexto, la preposición natural es to:

I go to the bank… (Voy al banco.)

Diferencias:

go to
- lugar: movimiento hacia un lugar.
- I go to school.
- She goes to the gym.
go into
- lugar: entrar físicamente a un espacio cerrado; enfatiza que cruzas la puerta.
- I go into the bank and talk to the teller.
go at casi nunca se usa para lugares físicos en este sentido, así que
- I go at the bank es incorrecto.

En la frase original, simplemente quieres decir que vas al banco (como destino), por eso se usa go to the bank.