Learn Hardcore Inglés: He promises to help me if I make another mistake. - Él promete ayudarme si cometo otro error.

En inglés, después de promise cuando va seguido de un verbo, se usa la estructura promise + to + verbo.
Por eso se dice He promises to help me (Él promete ayudarme).

Promise help es posible, pero significa otra cosa: He promises help = Él promete ayuda (un sustantivo), no la acción de ayudar.
En tu oración queremos la acción ayudar, así que se usa to help.

¿Por qué lleva to antes de help en promises to help?

To help es un infinitivo: to + verbo base.
Muchos verbos en inglés van seguidos de infinitivo, por ejemplo:

want to go
need to study
plan to travel
promise to help

Con promise, la estructura más común es: promise to + verbo. Por eso se dice promises to help, no solo promises help cuando la idea es promete ayudar.

¿Está mal decir He promises me to help?

En teoría, promise + objeto + to + verbo puede aparecer en inglés, pero suena muy raro y casi nunca se usa en inglés americano actual.
La forma natural es:

He promises to help me.
He promises me that he will help me.

Para hablar, lo más común y natural es He promises to help me, y para un estudiante es mejor evitar He promises me to help.

¿Por qué se dice help me y no help to me?

Después del verbo help, el complemento directo va sin to:

help me (ayudarme)
help her (ayudarla)
help them (ayudarlos)

Help to me sonaría como ayuda hacia mí (con help como sustantivo), no como el verbo ayudarme.
Con el verbo help, usa directamente el pronombre: help me, help you, etc.

¿Por qué se usa He promises (presente simple) y no He will promise o He promised?

El presente simple en inglés se usa para hablar de hechos, costumbres o situaciones que consideramos verdaderas ahora.
He promises to help me puede significar:

que él siempre promete eso (algo habitual), o
que, en este momento, esa es su promesa (un hecho actual).

He will promise casi no se usa; sería él prometerá (suena forzado).
He promised es pasado: He promised to help me = Él prometió ayudarme (ya lo dijo antes).

¿Por qué se dice if I make another mistake y no if I will make another mistake?

En inglés, en las oraciones condicionales con if que hablan del futuro, normalmente se usa presente simple después de if, no will.

Estructura típica (primer condicional):

If + presente simple, will + verbo

Ejemplo:

If I make another mistake, he will help me.

Por eso se dice if I make another mistake, aunque la idea sea futura. If I will make suena incorrecto en este tipo de condicional.

¿Por qué se dice make a mistake y no do a mistake?

En inglés, algunos verbos se usan por costumbre con ciertos sustantivos; son colocaciones.
La combinación natural es:

make a mistake (cometer un error)

Decir do a mistake suena antinatural, aunque se entienda.
Otros ejemplos:

make a decision (tomar una decisión)
make a noise (hacer ruido)
do homework (hacer la tarea)
do exercise (hacer ejercicio)

¿Por qué es another mistake y no other mistake?

Another = an + other y se usa con sustantivos contables en singular: another mistake (otro error más).
Other se usa así:

con plurales: other mistakes (otros errores)
con algunos determinantes: the other mistake (el otro error)

En tu oración solo hablas de un error más, por eso se dice another mistake, no other mistake.
Equivale a one more mistake = un error más.