Learn Hardcore Inglés: There are no free seats on the train.

En inglés free puede significar tanto “gratis” como “libre” o “disponible”. En free seats se hace referencia a asientos disponibles, no a asientos de costo cero. Para indicar “gratis” se suele usar free of charge o complimentary.

¿Por qué se dice There are no free seats y no There is no free seats?

En inglés, al hablar de varios asientos (sustantivo contable en plural), se usa there are. Si fuera un solo asiento dirías There is one free seat. Con plural necesitas are.

¿Por qué on the train en lugar de in the train?

Cuando hablamos de viajar o ubicarnos en un medio de transporte solemos usar on:

on the bus
on the plane
on the train
“In the train” suena raro aunque gramaticalmente posible si enfocas el interior físico, pero en inglés americano se prefiere on.

¿Puedo decir We don't have any free seats on the train?

Sí. Es perfectamente correcto y transmite la misma idea:

We don’t have any free seats on the train.
También podrías decir We have no free seats on the train, que suena más formal.

¿Qué diferencia hay entre There are no free seats y There aren’t any free seats?

Ambas expresiones son equivalentes:

There are no free seats (uso de no antes del sustantivo)
There aren’t any free seats (uso de not
- any después del verbo)
  Es cuestión de estilo o preferencia; la segunda suena un poco más coloquial.

¿Existen otras maneras de expresar que ya no hay asientos disponibles?

Sí, algunas opciones comunes:

The train is full.
All seats are taken.
There’s no room on the train.