My library account shows due dates, loan periods, and borrowing limits.

Porque en inglés lo más natural es usar el posesivo + sustantivo:

• my library account = mi cuenta de la biblioteca

La forma of mine existe, pero no se usa así en este caso.
Por ejemplo:

• my book = mi libro
• my account = mi cuenta

The library account of mine suena muy poco natural en inglés moderno.

En inglés, cuando un sustantivo describe a otro, el sustantivo que funciona como “descripción” va primero.

• library account = cuenta de biblioteca / cuenta de la biblioteca
• school bus = autobús escolar
• computer screen = pantalla de computadora

La palabra principal aquí es account.
Library solo dice qué tipo de cuenta es.

Porque el sujeto es My library account, y ese sujeto es tercera persona singular.

En presente simple:

• I show
• you show
• we show
• they show
• he/she/it shows

Como account equivale a it, se usa:

• My library account shows...

No sería correcto decir My library account show...

Es el verbo show en presente simple.

Aquí show significa algo como:

• mostrar
• indicar
• desplegar

Por ejemplo:

• The screen shows the results.
• My account shows due dates.

No significa necesariamente “enseñar” en el sentido de dar una clase. Aquí significa presentar información.

Porque en inglés muchas veces, cuando se enumeran categorías o tipos de información de manera general, no hace falta repetir el artículo.

• shows due dates, loan periods, and borrowing limits

Eso suena natural cuando hablas de lo que aparece en una cuenta o sistema.

También podría aparecer the en otros contextos si quieres señalar elementos específicos, pero aquí la frase está describiendo el contenido de forma general.

Due date es una expresión muy común en inglés.
Significa la fecha en que algo debe devolverse, entregarse o pagarse.

Está en plural (due dates) porque la cuenta puede mostrar:

• varias fechas para distintos libros, o
• esa categoría de información en general

Ejemplos:

• The due date is Friday. = La fecha de entrega/devolución es el viernes.
• The system shows due dates. = El sistema muestra fechas de vencimiento/devolución.

Loan period significa el período de préstamo, o sea, el tiempo durante el cual puedes tener prestado un libro.

• period = período
• loan = préstamo

En inglés, igual que en library account, el sustantivo que describe va primero:

• loan period = período de préstamo
• payment method = método de pago
• bus stop = parada de autobús

Está en plural (loan periods) porque puede hablar de varios períodos para distintos materiales o tipos de préstamo.

Porque aquí borrowing funciona como un sustantivo/adjetivo derivado del verbo borrow.

• borrow = pedir prestado
• borrowing limits = límites de préstamo / límites para pedir prestado

En inglés es muy común usar la forma en -ing para modificar otro sustantivo:

• shopping list = lista de compras
• swimming pool = piscina
• borrowing limits = límites de préstamo

Borrow limits no es la forma más natural en este contexto.

Porque la oración habla de tipos de información que la cuenta muestra, y esas categorías suelen incluir varios elementos o aplicarse a diferentes materiales.

Por ejemplo, una cuenta de biblioteca puede mostrar:

• varias due dates para distintos libros
• distintos loan periods según el material
• diferentes borrowing limits según el tipo de usuario

En inglés, usar el plural aquí suena muy natural.

Esa coma se llama Oxford comma o serial comma.

La lista es:

• due dates
• loan periods
• borrowing limits

Por eso aparece:

• due dates, loan periods, and borrowing limits

En inglés de Estados Unidos, esa coma final es muy común y muchas veces se recomienda para que la frase sea más clara.
También puedes ver textos sin esa coma, pero en inglés estadounidense usarla es completamente normal.

No necesariamente.

Library account puede referirse a tu cuenta de usuario de la biblioteca en general, ya sea:

• en línea
• en una app
• en el sistema de la biblioteca

O sea, es tu registro como usuario, donde aparecen tus préstamos, fechas, multas, límites, etc.

Una aproximación para hispanohablantes sería:

mai lái-brer-i a-káunt shóuz dúu déits, lóun pí-ri-odz, and bó-róu-ing lí-mits

Algunas notas:

• my suena como mai
• library en inglés de EE. UU. muchas veces suena parecido a lai-brer-i
• account lleva el acento en la segunda sílaba: a-KOUNT
• shows suena como shóuz
• due suele sonar como du
• loan suena como loun
• borrowing suele sonar como BOR-oh-ing o parecido a bá-ro-ing según el acento

Si quieres, puedo darte también la oración separada por sílabas o con una guía de pronunciación más detallada.