My opponent and teammate have seven points.

Porque el sujeto se entiende como plural.

En inglés, cuando dos elementos se unen con and, normalmente el verbo va en plural:

• My opponent and teammate have...
• My brother and sister are...

Aquí, opponent and teammate se interpreta como dos personas, por eso se usa have.

Si fuera un sujeto singular, usaríamos has:

• My teammate has seven points.

Con have, lo más natural es entender que habla de dos personas:

• my opponent
• (my) teammate

O sea, mi oponente y mi compañero/a de equipo.

Si el hablante quisiera decir que es una sola persona con dos roles, normalmente usaría un verbo singular o reformularía la oración para que quede más clara, por ejemplo:

• My opponent, who is also my teammate, has seven points.

Porque en inglés un posesivo puede modificar dos sustantivos coordinados:

• my opponent and teammate

Eso puede equivaler a:

• my opponent and my teammate

Las dos opciones son posibles.
Pero repetir my muchas veces da más claridad, especialmente si quieres dejar muy claro que son dos personas:

• My opponent and my teammate have seven points.

Porque seven es un número mayor que uno, y en inglés los sustantivos contables van en plural después de números mayores que one.

• one point
• two points
• seven points

Por eso point cambia a points.

Por sí sola, la oración puede ser ambigua. El contexto decide.

Puede entenderse como:

• cada uno tiene siete puntos, o
• entre los dos tienen siete puntos

Si quieres ser muy claro en inglés, puedes agregar:

• each = cada uno
  My opponent and my teammate each have seven points.

• altogether / in total = entre los dos, en total
  My opponent and my teammate have seven points altogether.

Porque my ya funciona como determinante. En inglés, normalmente no se pone artículo antes de un posesivo.

Correcto:

• my opponent
• the opponent

Incorrecto:

• the my opponent

Entonces eliges uno u otro, no los dos juntos.

Teammate significa compañero/a de equipo.

Se usa mucho en deportes, juegos y actividades donde varias personas forman un mismo equipo.

Ejemplos:

• She is my teammate.
• Our teammates are ready.

No es exactamente igual a partner:

• teammate = compañero/a de equipo
• partner = compañero/a, socio/a, pareja, dependiendo del contexto

Por eso, en una oración sobre puntos o marcador, teammate suena muy natural.

Sí, es gramaticalmente correcta, pero puede sonar un poco confusa porque:

• my aparece una sola vez
• no queda totalmente claro si son dos personas
• tampoco queda totalmente claro si los siete puntos son de cada uno o entre los dos

Formas más claras podrían ser:

• My opponent and my teammate have seven points.
• My opponent and my teammate each have seven points.
• My opponent and my teammate have seven points in total.

O sea: la oración original está bien, pero en conversación real muchos hablantes nativos la harían más específica.