My emergency contact is my sister.

Porque en inglés normalmente se repite el posesivo cuando pertenece a dos sustantivos distintos:

• my emergency contact = mi contacto de emergencia
• my sister = mi hermana

En español a veces evitamos repetir mi, pero en inglés sí suena natural repetirlo.
Decir My emergency contact is sister no es correcto.

Porque el sujeto es singular: My emergency contact.

• contact = singular
• contacts = plural

Entonces:

• My emergency contact is my sister.
• My emergency contacts are my sister and my brother.

El verbo to be debe concordar con el sujeto.

Sí, aquí emergency está funcionando como modificador del sustantivo contact.

En inglés es muy común que un sustantivo modifique a otro sustantivo:

• emergency contact
• phone number
• school bus

Aunque emergency normalmente es un sustantivo (emergencia), en esta expresión funciona como si fuera un adjetivo: contacto de emergencia.

Porque en inglés esa estructura no es natural.
En español usamos mucho de: contacto de emergencia.
En inglés, en cambio, muchas veces se pone un sustantivo antes de otro:

• emergency contact ✔
• contact of emergency ✘

Es una diferencia muy común entre español e inglés.

Sí, totalmente. Las dos oraciones son correctas:

• My emergency contact is my sister.
• My sister is my emergency contact.

La diferencia está en el enfoque:

• My emergency contact is my sister enfatiza quién es el contacto.
• My sister is my emergency contact enfatiza qué papel tiene tu hermana.

El significado general es el mismo.

Porque my ya está determinando al sustantivo.

En inglés, normalmente no se usa artículo junto con un posesivo:

• my sister ✔
• the my sister ✘
• my emergency contact ✔
• an my emergency contact ✘

Los posesivos como my, your, his, her, our, their ocupan el lugar del artículo.

No en esta oración. Debes decir:

• my sister ✔

No:

• sister ✘

En inglés, los sustantivos contables singulares casi siempre necesitan algún determinante, por ejemplo:

• a sister
• my sister
• the sister

Como hablas de tu hermana, lo natural es my sister.

Una pronunciación aproximada en inglés de Estados Unidos es:

• emergency: i-MER-yan-si
• contact: KON-takt o KAHN-takt, según el acento

Junto sonaría algo como:

• mai i-MER-yan-si KON-takt iz mai SIS-ter

Puntos útiles:

• La sílaba fuerte de emergency es MER.
• La sílaba fuerte de sister es SIS.
• La r en inglés no suena como la r fuerte del español.

Sí, en conversación informal puede contraerse:

• My emergency contact’s my sister.

Pero hay dos cosas importantes:

1. Suena más informal.
2. Puede verse un poco menos claro por escrito, porque contact’s también puede parecer contact has.

Por eso, en escritura clara o formal, es mejor usar la forma completa:

• My emergency contact is my sister.

Sí, suena natural en ambos casos, especialmente al hablar o responder una pregunta.

Por ejemplo:

• Who is your emergency contact?
• My emergency contact is my sister.

En un formulario, a veces no se escribe la oración completa. Solo aparece algo como:

• Emergency contact:
• Name of emergency contact:

Pero si estás hablando o escribiendo una respuesta completa, la oración está perfecta.

No. En una oración normal, solo la primera palabra va con mayúscula, a menos que haya un nombre propio:

• My emergency contact is my sister.

No sería normal escribir:

• My Emergency Contact Is My Sister ✘

Si mencionaras un nombre propio, ese nombre sí llevaría mayúscula:

• My emergency contact is my sister, Ana.