Στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών.

Στο is a contraction of σε + το.

• σε = in / at / to
• το = the (neuter, singular)

So στο πανεπιστήμιο literally means “in/at the university.”
In modern Greek, σε + τον / την / το are almost always contracted in speech and writing:

• σε τον → στον
• σε την → στη(ν)
• σε το → στο

πανεπιστήμιο is neuter singular and here it is in the accusative case, governed by σε.

For neuter nouns in -ο, the nominative and accusative singular look the same:

• Nominative: το πανεπιστήμιο – the university (as subject)
• Accusative: στο πανεπιστήμιο – in/at/to the university

So the form doesn’t change, but grammatically it’s accusative after σε.

υπάρχει literally means “there exists” / “there is.”

• Στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα…
  = At the university, there is a program…

είναι means “is”, and is used more for identity or description:

• Αυτό είναι πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών.
  = This is a student exchange program.

Using είναι in the original sentence (Στο πανεπιστήμιο είναι πρόγραμμα…) would sound wrong/unnatural; for “there is/there are” Greek normally uses υπάρχει / υπάρχουν.

It agrees in number, not in gender.

• υπάρχει = 3rd person singular (“there is”)
• πρόγραμμα = neuter, singular noun

If the subject were plural, you’d use υπάρχουν (“there are”):

• Στο πανεπιστήμιο υπάρχουν προγράμματα ανταλλαγής φοιτητών.
  = At the university, there are student exchange programs.

Both are possible:

• Στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών.
• Στο πανεπιστήμιο υπάρχει ένα πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών.

In Greek, after υπάρχει/υπάρχουν, speakers often omit the indefinite article ένα / μία / έναν, especially when:

• they’re introducing something for the first time, and
• the exact identity is not important.

Adding ένα often gives more of a “one specific program” nuance.
Without ένα, it sounds a bit more neutral: “there is (such) a program.”

ανταλλαγής is the genitive singular of η ανταλλαγή (exchange).

• Nominative: η ανταλλαγή – the exchange
• Genitive: της ανταλλαγής – of the exchange

In πρόγραμμα ανταλλαγής, the genitive shows a “of” relationship:

• πρόγραμμα ανταλλαγής = program of exchange

This is a common pattern in Greek: a noun followed by another noun in the genitive to show type, content, or purpose.

φοιτητών is the genitive plural of ο φοιτητής (university student).

• Nominative singular: ο φοιτητής – the student
• Genitive plural: των φοιτητών – of (the) students

In ανταλλαγής φοιτητών, φοιτητών depends on ανταλλαγής, and together they mean:

• ανταλλαγής φοιτητών = of exchange of students / student exchange

So both ανταλλαγής and φοιτητών are in the genitive, forming a chain:

• πρόγραμμα (τινος;) ανταλλαγής (ποιων;) φοιτητών
  = program of exchange of students

Yes, you can say:

• πρόγραμμα ανταλλαγής για φοιτητές
  = an exchange program for students

Differences:

• ανταλλαγής φοιτητών (both words in genitive) is more compact and sounds a bit more formal/“nouny.”
• για φοιτητές uses the preposition για (“for”) and is slightly more explicit about who it is for, not just what kind of exchange.

Both are correct; ανταλλαγής φοιτητών is the most typical phrasing for “student exchange program.”

Both translate as “student”, but they are used for different levels:

• φοιτητής / φοιτήτρια = a student at a university / college
• μαθητής / μαθήτρια = a pupil/student at school (primary, middle, high school)

So in a university context, φοιτητών is the correct word.

Yes, you can. Both are correct:

• Στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών.
• Υπάρχει πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών στο πανεπιστήμιο.

Greek word order is fairly flexible. The difference is mostly one of emphasis:

• Starting with Στο πανεπιστήμιο highlights the place.
• Starting with Υπάρχει gives a more neutral “there is … at the university” feel.

Grammatically they’re equivalent.

A common, careful pronunciation (in simplified Latin letters) is:

Sto panepistí-mio ipár-chi pró-grama andalla-gís fititón.

More systematically:

• Στο – [sto]
• πανεπιστήμιο – [pɑ.ne.piˈsti.mio]
• υπάρχει – [iˈpar.çi] (χ like a German ch in ich)
• πρόγραμμα – [ˈpro.ɣra.ma] (γρ like a soft “gr”)
• ανταλλαγής – [an.da.laˈʝis] (γ before ή is like the “y” in yes, but voiced)
• φοιτητών – [fitˈon] (modern Greek pronounces οι like ι = “ee”)

For the meaning “at the university”, σε (contracted to στο) is the normal choice.

You wouldn’t say:

• ✗ *πάνω στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα… – literally “on top of the university”
• ✗ *μέσα στο πανεπιστήμιο υπάρχει πρόγραμμα… – “inside the university” (physically inside the building – sounds odd for a program)

So σε / στο is the natural, general preposition for “at / in” institutions and places in this sense.