I only drink water at night.

Porque el sujeto es I.
En presente simple, con I / you / we / they el verbo va en su forma base:

• I drink
• You drink
• We drink
• They drink

Solo cambia a drinks con he / she / it:

• He drinks water at night.
• She drinks water at night.

Only significa solamente o nada más.

En I only drink water at night, la idea más natural es:

• Por la noche, lo único que tomo es agua.

O sea, cuando llega la noche, no tomo café, jugo, refresco, alcohol, etc.; solo agua.

Sí, only se puede mover, y su posición puede cambiar qué parte de la oración enfatiza.

1) I only drink water at night.

La forma más común en conversación.
Normalmente se entiende como: por la noche solo tomo agua.

2) I drink only water at night.

Aquí only está más claramente unido a water.
Enfatiza: solo agua, no otra bebida.

3) I drink water only at night.

Aquí only modifica el tiempo.
Significa: tomo agua solo por la noche, no en la mañana o en la tarde.

En inglés hablado, muchas veces la primera opción suena completamente natural aunque no sea la más “lógica” en términos de gramática estricta.

Porque water aquí es un sustantivo incontable y se está usando en sentido general.

Por eso decimos:

• I drink water
• She likes coffee
• They buy milk

No decimos normalmente:

• I drink a water ❌

A water solo puede aparecer en contextos especiales, por ejemplo en un restaurante, cuando water significa una botella / un vaso de agua:

• Can I get a water?
  Muy común en inglés hablado de Estados Unidos.

Pero en tu oración, water significa el líquido en general, así que va sin artículo.

Porque at night es la expresión normal para hablar de la noche en general o de algo que pasa por la noche.

• I study at night.
• She works at night.
• I only drink water at night.

In the night existe, pero es mucho menos común y suele usarse para hablar de algo que ocurrió durante una noche específica, a veces con un tono más literario:

• I heard a strange noise in the night.

Así que para hábitos o rutinas, lo normal es at night.

Aquí significa por la noche en general, como un hábito o costumbre.

La oración está en presente simple, así que habla de algo habitual:

• I only drink water at night.
  = Es mi costumbre / generalmente hago eso.

Si quieres decir esta noche, usarías:

• tonight

Por ejemplo:

• I’ll only drink water tonight.
  = Esta noche solo voy a tomar agua.

Porque el presente simple se usa mucho para hablar de:

• hábitos
• rutinas
• costumbres
• hechos generales

Entonces I only drink water at night suena como una regla personal o hábito.

Otros ejemplos:

• I go to bed early.
• She drinks tea in the morning.
• We exercise at night.

Si fuera una acción que está ocurriendo ahora mismo, usaríamos present continuous:

• I’m drinking water right now.

Sí, muchas veces sí, especialmente en inglés hablado.

• I just drink water at night.
• I only drink water at night.

Pero hay una diferencia pequeña:

• only es más claro para decir solamente
• just puede sonar más conversacional y a veces tiene otros significados, como apenas, exactamente o simplemente

Por eso, si quieres expresar solamente, only es la opción más clara.

Sí, suena natural y es correcto.

Mover at night al principio sirve para destacar el momento del día:

• At night, I only drink water.

Es muy parecido a:

• I only drink water at night.

La diferencia es de énfasis, no de significado básico.

No.
En I only drink water at night no hay contracciones.

Pero sí podrías encontrar una forma parecida con otro tiempo verbal, por ejemplo:

• I’ll only drink water tonight.
  Aquí I’ll = I will

En tu oración original, todo está en forma completa y simple:

• I
• only
• drink
• water
• at night