I write the answer with a blue pen and then check it with my calculator.

Porque en inglés el sujeto normalmente sí se expresa.
El verbo write no cambia lo suficiente como para identificar siempre la persona, así que I es necesario.

• I write = yo escribo
• You write = tú/ustedes escriben
• We write = nosotros escribimos

En español muchas veces omitimos el sujeto porque la conjugación ya da esa información. En inglés, eso casi no se puede hacer.

Porque el sujeto es I.
En presente simple:

• I write
• You write
• We write
• They write
• He/She/It writes

La -s en el verbo se usa solo con he, she, it en presente simple.

• I write the answer.
• She writes the answer.

Se usa the cuando hablamos de algo específico o ya conocido en el contexto.Aquí, suena como concreta que la persona está escribiendo.