After dinner, the children play in the yard.

Porque en inglés, cuando hablas de comidas en general como parte de una rutina, normalmente no usas artículo:

• after dinner
• before lunch
• at breakfast

Esto funciona parecido a hablar de la comida como evento general, no de una cena específica.

Sí puedes usar the si hablas de una cena concreta:

• After the dinner we had at Ana’s house, we went home.

Pero en la oración dada, after dinner significa simplemente después de cenar o después de la cena en sentido general.

Porque After dinner es una frase introductoria de tiempo. En inglés, cuando una expresión de tiempo va al inicio de la oración, muchas veces se pone coma:

• After dinner, the children play in the yard.
• In the morning, I study English.

La coma ayuda a separar esa información inicial del resto de la oración.
No siempre es obligatoria en todos los contextos informales, pero aquí es muy natural y correcta.

Porque children es el plural irregular de child.

• child = niño / niña
• children = niños / niñas

Childs es incorrecto.

Otros plurales irregulares comunes en inglés:

• man → men
• woman → women
• person → people
• tooth → teeth

Porque children es plural, y en presente simple el verbo va así:

• I play
• you play
• we play
• they play

Y también con sustantivos plurales:

• the children play

La forma plays solo se usa con tercera persona singular:

• he plays
• she plays
• the child plays

Entonces:

• The child plays ✅
• The children play ✅

Es presente simple.

En esta oración, el presente simple se usa para hablar de:

• hábitos
• rutinas
• acciones que ocurren normalmente

Entonces After dinner, the children play in the yard sugiere una costumbre o rutina: después de cenar, los niños juegan en el patio.

No significa necesariamente que lo estén haciendo justo ahora.

Depende de la idea que quieras expresar:

• The children play in the yard after dinner. → hábito / rutina
• The children are playing in the yard. → acción en progreso ahora mismo

Si quieres decir que en este momento, después de cenar, están jugando, podrías decir:

• After dinner, the children are playing in the yard.

Pero la oración original con play suena más a costumbre general.

Porque con espacios o áreas cercadas/definidas como yard, en inglés normalmente se usa in.

• in the yard
• in the garden
• in the park

On suele usarse más con superficies:

• on the floor
• on the table
• on the wall

Por eso in the yard es la opción natural.

Yard suele referirse al área exterior de una casa, generalmente con pasto o espacio abierto alrededor. En inglés de Estados Unidos, muchas veces equivale a algo como:

• patio
• jardín
• terreno de la casa
• patio delantero o trasero, según el contexto

Pero no siempre es exactamente lo mismo que garden:

• yard = área exterior en general
• garden = zona donde hay plantas, flores o vegetales

También puedes ver:

• backyard = patio trasero
• front yard = patio delantero

Sí. Kids es muy común y natural en inglés hablado.

• The children play in the yard. → más neutral / un poco más formal
• The kids play in the yard. → más informal y muy común

Ambas son correctas.
Si estás aprendiendo inglés general, conviene conocer las dos.

Sí, también es correcto.

Tienes dos opciones naturales:

• After dinner, the children play in the yard.
• The children play in the yard after dinner.

La diferencia principal es el enfoque:

• After dinner, ... pone primero el momento
• The children ... after dinner pone primero el sujeto

Las dos significan prácticamente lo mismo en este caso.

Porque the indica que hablamos de unos niños específicos, conocidos por el contexto.

• The children play in the yard. → esos niños en particular
• Children play in the yard. → los niños en general, como idea general

En la oración dada, the children sugiere que el hablante tiene en mente a un grupo específico, por ejemplo los niños de una familia.

Children suele pronunciarse aproximadamente como:

• CHIL-dren

Una ayuda para hispanohablantes:

• la primera parte suena como chil
• la segunda como dren

No se pronuncia como si tuviera una e muy clara al medio.
Además, la r en inglés estadounidense no suena como la r fuerte del español.

Una aproximación simple:

• children ≈ chíldrən

Si quieres sonar más natural, enfócate en decirla en dos sílabas:

• CHIL-dren