Use this sponge and this napkin; the counter is still dirty.

Porque Use está en imperativo, o sea, una orden, instrucción o sugerencia directa.

En inglés, en el imperativo normalmente no se menciona el sujeto. El sujeto implícito es you.

• Use this sponge and this napkin. = Usa esta esponja y esta servilleta.
• El sujeto implícito es you.

Si quisieras hacerlo explícito, sería:

• You, use this sponge...
  Pero eso suena poco natural en la mayoría de los casos.

Counter aquí normalmente significa la superficie de trabajo de una cocina o baño.

Según el país, se puede traducir como:

• encimera
• mostrador
• barra
• mesón

En inglés de Estados Unidos, counter es muy común para hablar de la parte plana donde preparas comida o colocas cosas.

Ejemplo:

• The counter is dirty. = La encimera / el mostrador está sucio.

Porque the se usa cuando hablamos de algo específico o ya identificado en el contexto.

Aquí no es cualquier mostrador, sino ese mostrador en particular que ambas personas ya saben cuál es.

• the counter =