Our landlord says she will have fixed the broken washing machine by Monday.

Will have fixed es future perfect (futuro perfecto). Se usa para decir que una acción estará completada antes de un momento futuro.
Aquí significa: para el lunes, la lavadora ya estará arreglada (terminada la reparación) según lo que dice la casera.

• She will fix the washing machine by Monday: suena como un plan/acción futura, pero no enfatiza tanto que estará terminada para el lunes; a veces se entiende como lo hará antes del lunes, pero es menos preciso.
• She will have fixed the washing machine by Monday: deja claro que para el lunes ya estará lista (acción completada).

By Monday significa a más tardar el lunes / antes del lunes o el mismo lunes como límite.
No significa necesariamente el lunes (eso sería más como on Monday), sino con el lunes como fecha tope.