Our landlord says she will have fixed the broken washing machine by Monday.

Will have fixed es future perfect (futuro perfecto). Se usa para decir que una acción estará completada antes de un momento futuro.
Aquí significa: para el lunes, la lavadora ya estará arreglada (terminada la reparación) según lo que dice la casera.

• She will fix the washing machine by Monday: suena como un plan/acción futura, pero no enfatiza tanto que estará terminada para el lunes; a veces se entiende como lo hará antes del lunes, pero es menos preciso.
• She will have fixed the washing machine by Monday: deja claro que para el lunes ya estará lista (acción completada).

By Monday significa a más tardar el lunes / antes del lunes o el mismo lunes como límite.
No significa necesariamente el lunes (eso sería más como on Monday), sino con el lunes como fecha tope.

Sí, pero cambia el sentido:

• on Monday = el lunes (ese día ocurre la acción).
• by Monday = para el lunes ya (fecha límite; puede ser antes).

En inglés de EE. UU., landlord se usa mucho como término neutral para la persona que renta una propiedad, aunque sea mujer.
Landlady existe y es correcto, pero puede sonar más específico o menos común en algunos contextos. Por eso es normal: Our landlord says she...

Porque en esta oración se aclara el género de la persona: landlord (la persona que renta) y luego she indica que es mujer. Es una forma común de dar esa información sin cambiar el sustantivo.

La frase no lo especifica. Literalmente, she will have fixed puede entenderse como: 1) Ella misma la arregla, o
2) Ella se encargará de que quede arreglada (por ejemplo, contratando a alguien).

Si quieres dejar clarísimo que ella paga/organiza a un técnico, una opción muy natural es: She will have the washing machine fixed by Monday (estructura causativa: hará que la arreglen).

• She will have fixed the washing machine by Monday: enfoque en ella como responsable (la acción completada por/para ella).
• The washing machine will be fixed by Monday: es voz pasiva; enfoque en la lavadora (el resultado), sin destacar quién lo hace.

Broken funciona como adjetivo para especificar cuál lavadora: la que está descompuesta.
Se usa mucho cuando hay una condición importante o cuando quieres enfatizar el problema: the broken washing machine = la lavadora descompuesta.

Sí. En future perfect la estructura es: will + have + participio pasado.
Para verbos regulares, el participio suele ser igual al pasado con -ed:

• fix → fixed
  Entonces: will have fixed.

Our landlord significa nuestro/a casero/a: ya sabes de quién hablan (es el de ustedes).
The landlord sería el/la casero/a en general, sin esa idea de relación directa (aunque a veces también puede ser el mismo, depende del contexto).