Learn Hardcore Inglés: Let me open the window.

En este caso let me se traduce como déjame o permíteme, y se usa para ofrecerse a hacer algo o pedir permiso al mismo tiempo. Gramáticamente es el imperativo de let + pronombre de objeto (me) + verbo principal en infinitivo sin to.

¿Por qué decimos open the window y no open window?

En inglés los sustantivos contables singulares casi siempre van acompañados de un artículo. Aquí hablamos de la ventana específica, por eso usamos el artículo definido the. Omítirlo sonaría incorrecto.

¿Cómo funciona la estructura gramatical de Let me open?

Es una construcción causativa:
1) Verbo en imperativo (let)
2) Objeto (me)
3) Verbo principal en forma base o bare infinitive sin to (open).
Sirve para expresar “permíteme que yo haga X”.

¿Cuál es la diferencia entre Let me open the window y I’ll open the window?

Let me open…: pides permiso u ofreces hacerlo tú mismo, es más una invitación (“déjame abrir…”).
: simplemente informas de tu intención futura (“yo abriré…”), sin implicar petición de permiso.