We groom and train our obedient dog with a treat.

Aquí groom significa acicalar, cepillar, asear o arreglar al perro.
Con animales, suele referirse al cuidado físico: peinarlo, bañarlo, cortarle el pelo, limpiarlo, etc.

Ojo: groom también puede tener otros sentidos en inglés, pero en esta oración, con dog, se entiende como arreglar o asear.

Porque en inglés normalmente sí es obligatorio expresar el sujeto.
Por eso se dice We groom and train... y no solo Groom and train...

En español podemos decir:

• Cuidamos y entrenamos a nuestro perro.

Sin decir nosotros, porque el verbo ya lo indica.
En inglés, en cambio, normalmente necesitas el pronombre:

• We groom and train our dog.

Porque el hablante está diciendo que hace dos acciones sobre el mismo perro:

• groom = lo asea / lo arregla
• train = lo entrena

En inglés es muy común unir verbos con and cuando comparten el mismo sujeto y el mismo complemento.

Aquí la estructura es:

• We = sujeto
• groom and train = dos verbos coordinados
• our obedient dog = complemento de los dos verbos

Es decir, nosotros aseamos y entrenamos a nuestro perro obediente.

Porque en inglés, por lo general, los adjetivos van antes del sustantivo.

Entonces:

• an obedient dog = un perro obediente

No:

• a dog obedient ❌

Esto es una diferencia muy importante con el español, donde normalmente el adjetivo va después:

• perro obediente

En inglés, lo normal aquí es:

• our obedient dog

Our es un adjetivo posesivo o determinante posesivo. Significa nuestro / nuestra / nuestros / nuestras, según el contexto en español.

Aquí:

• our dog = nuestro perro

En inglés, our no cambia por género ni número del sustantivo como en español.
Por ejemplo:

• our dog = nuestro perro
• our house = nuestra casa
• our dogs = nuestros perros

Además, our normalmente reemplaza al artículo. Por eso decimos:

• our dog ✅
• the our dog ❌

Porque treat aquí es un sustantivo contable y singular, así que necesita un artículo:

• a treat = un premio / una golosina / un bocadito

En el contexto de mascotas, treat suele ser un premio que se le da al perro, muchas veces como recompensa durante el entrenamiento.

Por eso:

• with a treat = con un premio

Si fueran varios, sería:

• with treats = con premios

Aquí with indica el medio, instrumento o recurso que se usa para hacer la acción.

Entonces:

• with a treat = usando un premio / con un premio

La idea es que el premio sirve como ayuda, especialmente para el entrenamiento.

Buena pregunta. Gramaticalmente puede sonar ambiguo.

La interpretación más natural es que with a treat se relaciona sobre todo con train, porque tiene mucho sentido entrenar a un perro con un premio.

En cambio, asear a un perro con un premio no suena tan natural.

Entonces, la mayoría de las personas entendería algo como:

• Aseamos a nuestro perro obediente y lo entrenamos con un premio.

Si quieres evitar la ambigüedad en inglés, puedes decir:

• We groom our obedient dog and train him with a treat.
• We groom our dog, and we train him with a treat.

Porque en inglés, igual que en español, cuando dos verbos comparten el mismo objeto, no hace falta repetirlo.

Por ejemplo:

• We groom and train our obedient dog.

significa:

• We groom our obedient dog and train our obedient dog.

Pero repetirlo completo sonaría innecesario.
Por eso se deja una sola vez al final.

Sí, pero cambiaría el sentido.

• our obedient dog = nuestro perro obediente
• the obedient dog = el perro obediente
• an obedient dog = un perro obediente

En la oración original usan our porque quieren indicar posesión: el perro es de nosotros.

Además, en inglés normalmente no se combina un posesivo con the o a delante del mismo sustantivo:

• our dog ✅
• the our dog ❌
• a our dog ❌

Porque train puede usarse como verbo transitivo, es decir, puede llevar objeto directo sin to.

Por eso se dice:

• train our dog = entrenar a nuestro perro

No:

• train to our dog ❌

Lo mismo pasa con groom:

• groom our dog = asear a nuestro perro

En inglés, muchos verbos toman el objeto directamente, mientras que en español a veces usamos la a personal:

• entrenamos a nuestro perro
• aseamos a nuestro perro

Esa a no se traduce como to en este caso.