The train is in the east.

Porque the train es un sujeto singular: habla de un solo tren.
En presente, el verbo to be cambia así:

• I am
• you/we/they are
• he/she/it is

Como train es una cosa y está en singular, corresponde is.

The es el artículo definido. Se usa cuando hablamos de un tren específico, no de cualquier tren.
La idea es que el hablante y el oyente ya saben cuál tren es.

Compáralo con:

• The train = el tren específico
• A train = un tren cualquiera

Se usa in the east porque aquí hablamos de una zona o región, no de un punto exacto.
In suele usarse para indicar que algo está dentro de un área.

• in the east = en el este / en la parte este
• at normalmente se usa para puntos más específicos
• on no suena natural en esta frase

Así que The train is in the east suena natural para ubicación general.

Porque the east funciona como un sustantivo que nombra la región oriental o el este.
En inglés, los puntos cardinales muchas veces llevan the cuando se usan como región o zona:

• the east
• the west
• the north
• the south

Pero si se usan de otra forma, a veces no llevan artículo. Por ejemplo:

• Go east. = Ve hacia el este.

Normalmente no para esta idea.
The train is in the east suena natural porque indica ubicación dentro de una región.

East solo, sin preposición, no suele usarse así después de is en este tipo de oración.
Si quieres usar east sin in, otras estructuras más naturales serían:

• The train is to the east.
• The train is east of the station.

La diferencia principal es esta:

• in the east = dentro de la región este
• to the east = al este de algo, o ubicado hacia el este

Ejemplos:

• The train is in the east. → está en la zona oriental.
• The train is to the east of the city. → está al este de la ciudad.

O sea, in the east habla de una región general; to the east muchas veces marca una relación de posición.

La estructura es:

• The train = sujeto
• is = verbo
• in the east = complemento de lugar

Es un patrón muy común en inglés:

Sujeto + verbo to be + lugar

Por ejemplo:

• The car is in the garage.
• The station is in the city.

Sí. En conversación o escritura informal, se puede decir:

• The train's in the east.

Esa contracción es natural y común.
En contextos formales o para aprender la estructura con claridad, muchas veces se prefiere la forma completa: The train is in the east.

En esta oración, normalmente va con minúscula: east.
Se escribe con mayúscula cuando forma parte de un nombre propio o de una región tratada como nombre oficial o cultural, por ejemplo:

• the East Coast
• the Middle East

Pero en The train is in the east, lo normal es east con minúscula.

Una guía sencilla sería:

• train ≈ trein
• east ≈ iist

Detalles útiles:

• train tiene el sonido ei como en day
• east tiene una vocal larga ii
• La t final de east sí se marca

Pronunciación aproximada en IPA:

• train /treɪn/
• east /iːst/

Normalmente habla de una ubicación general.
In the east no suele dar un punto exacto; más bien indica que el tren está en la parte oriental de un área, mapa o región.

Si quisieras ser más preciso, podrías usar algo como:

• The train is at the east station.
• The train is east of downtown.

Así que esta oración suena más amplia y general.