I buy groceries at the supermarket.

Groceries se refiere a los productos que compras para la casa, sobre todo comida y artículos básicos (por ejemplo: leche, pan, frutas, arroz, huevos), y a veces también cosas como papel higiénico o detergente (depende del contexto).

• Food = comida en general (más amplio).
• Shopping = la actividad de ir de compras (no son los productos).
  En esta oración, groceries son las compras del súper / la despensa.

I buy groceries at the supermarket. en presente simple normalmente expresa un hábito o algo que haces regularmente.
I’m buying groceries… (presente continuo) se usa para algo que está pasando ahora mismo o alrededor de este momento:

• I buy groceries at the supermarket. = Normalmente compro…
• I’m buying groceries at the supermarket (right now). = Estoy comprando… ahora.

Sí, se puede, pero suena un poco diferente:

• I buy groceries… suena más natural cuando hablas de la compra del súper (una compra completa o regular).
• I buy food… puede sonar más general y a veces menos específico (solo comida, no necesariamente otros productos del súper).

En este contexto:

• at the supermarket enfatiza el lugar donde haces la actividad (ubicación). Es muy común con lugares como at the store / at the mall.
• in the supermarket también es posible y suena a que estás dentro del edificio (más literal).
• from the supermarket se enfoca en el origen de lo que compras (de dónde viene): I buy groceries from the supermarket es posible, pero es menos común que at.

Las tres opciones existen, con matices:

• at the supermarket = normalmente se entiende como el súper al que voy (uno conocido en tu rutina, aunque no lo hayas mencionado antes).
• at a supermarket = cualquiera, no específico (uno de varios).
• En general, no se dice at supermarket (sin artículo) en inglés.

Casi siempre se usa en plural: groceries.

• grocery en singular se usa más como adjetivo o en compuestos: grocery store, grocery shopping.
  Decir a grocery como “un mandado” no es natural en inglés estándar.

Ambos son lugares para comprar comida y básicos, pero:

• supermarket suele ser más grande (más pasillos, más variedad).
• grocery store puede ser cualquier tienda de comestibles, a veces más pequeña.
  La oración funciona con los dos: I buy groceries at the grocery store.

En inglés (EE. UU.) lo más común es:

• I buy groceries.
• I go grocery shopping.
  I do the groceries no es la forma típica en inglés americano; suena más a otros usos regionales y no es lo más natural para EE. UU.

Sí. En presente simple, con he / she / it el verbo normalmente agrega -s:

• I buy
• You buy
• He/She buys groceries at the supermarket.
  Ojo con el cambio: buy → buys.