I score points with a strike on the scoreboard.

Aquí score es un verbo y significa anotar o hacer puntos.

• I score points = Anoto puntos / Hago puntos

Ojo: score también puede ser un sustantivo:

• The score is 10–8 = El marcador va 10–8

Porque points habla de puntos en general o de varios puntos.

• I score points = Anoto puntos
• I score a point = Anoto un punto

En deportes o juegos, muchas veces se usa el plural para hablar de la acción de sumar al marcador de manera general.

En esta oración, strike normalmente se entiende como un término de bowling.

En bowling, a strike es cuando derribas los 10 pinos con un solo lanzamiento.

Importante: strike puede tener otros significados en otros contextos:

• huelga
• strike en béisbol

Pero en esta oración, por score points y scoreboard, lo más probable es que sea bowling.

With a strike explica cómo o por medio de qué anotas puntos: con un strike.

• I score points with a strike = Anoto puntos con un strike

También podrías ver una estructura como:

• I score points by getting a strike

Esa versión suena un poco más explícita.
La idea es parecida, pero:

• with a strike = con un strike
• by getting a strike = al conseguir / al hacer un strike

Porque a se usa cuando hablamos de uno de manera general, no de uno específico ya conocido.

• a strike = un strike
• the strike = el strike (uno específico que ya mencionamos o que todos saben cuál es)

Ejemplos:

• I score points with a strike. = hablas en general
• The strike in the final round gave me the win. = un strike específico

Scoreboard significa marcador o tablero de puntuación.

Es el lugar donde se muestran los puntos o el resultado del juego.

• on the scoreboard = en el marcador

Aunque en inglés usa on, en español normalmente decimos en el marcador.

Porque en inglés, para pantallas, tableros y superficies donde aparece información, normalmente se usa on.

Por eso se dice:

• on the screen
• on the board
• on the scoreboard

Aunque en español solemos traducirlo como en el marcador, en inglés la preposición natural aquí es on.

The indica que hablamos de un marcador específico, el del juego o lugar del que ya se entiende el contexto.

• the scoreboard = el marcador
• a scoreboard = un marcador

Si estás hablando de un partido o una partida concreta, lo normal es usar the scoreboard.

Porque el presente simple se usa para hablar de:

• hechos generales
• hábitos
• reglas
• cosas que pasan normalmente

Entonces:

• I score points with a strike = habla de una verdad general o de cómo funciona el juego

Si hablaras de algo que está pasando justo ahora, podrías usar otra estructura, según el contexto.

Se entiende, pero suena un poco poco natural o forzada en inglés cotidiano.

Un hablante nativo probablemente diría algo como:

• I score points with a strike.
• A strike gives me points on the scoreboard.
• When I get a strike, I score points.

La parte on the scoreboard no está mal, pero en la oración original suena algo innecesaria o rara, porque normalmente ya se sobreentiende que los puntos aparecen en el marcador.

Se refiere al lugar donde aparecen o se reflejan los puntos: el marcador.

No describe al strike como si estuviera físicamente “sobre” el marcador.
Más bien describe el resultado visible del juego.

La idea completa sería algo como:

• Anoto puntos con un strike, y esos puntos aparecen en el marcador.

Por eso, semánticamente, on the scoreboard está relacionado con los points o con el resultado del juego.