Ο καινούριος συνεργάτης, του οποίου το γραφείο είναι δίπλα στο δικό μου, φαίνεται πολύ πρόθυμος.

του οποίου is a formal relative expression meaning whose.

In this sentence, it introduces extra information about ο καινούριος συνεργάτης. More literally, it means something like of whom, but in natural English we usually say whose.

So:

• ο συνεργάτης = the colleague / partner
• του οποίου το γραφείο = whose office

This structure is common in more careful or written Greek.

Because του οποίου has to agree with the noun it refers to, which is ο συνεργάτης.

Here the person being described is:

• ο συνεργάτης = masculine singular

So the relative form must also be:

• του οποίου = masculine singular genitive

Compare:

• ο άντρας, του οποίου... = the man, whose...
• η γυναίκα, της οποίας... = the woman, whose...
• τα παιδιά, των οποίων... = the children, whose...

So the gender and number depend on the antecedent, not on γραφείο.